《高考专题缩放法》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考专题缩放法(16页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、高考专题放缩法缩法是不等式证明中一种常用的方法,也是一种非常重要的方法。在证明过程中,适当地进行放缩,可以化繁为简、化难为易,达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握,常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。因此,使用放缩法时,如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标,就必须根据欲证结论,抓住题目的特点。掌握放缩技巧,真正做到弄懂弄通,并且还要根据不同题目的类型,采用恰到好处的放缩方法,才能把题解活,从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力,分析问题和解决问题的能力。数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中,是历年高考命题的热点,这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知
2、识解决问题的能力本文介绍一类与数列和有关的不等式问题,解决这类问题常常用到放缩法,而求 解途径一般有两条:一是先求和再放缩,二是先放缩再求和一先求和后放缩例 1正数数列 a的前nn项的和 Sn,满足 2 S =a +1 n n,试求:(1)数列 a的通项公式;n(2)设b =n1a an n +1,数列 b的前n 项的和为 B ,求证: B n n n12解 :( 1 ) 由 已 知 得 4S =( a +1)n n2 , n 2时 , 4 Sn -1=( an -1+1)2 , 作 差 得 :4 a =a 2 +2 a -a 2 -2 a n n n n -1n -1,所以 ( a +a )
3、( a -a n n -1 nn -1-2) =0,又因为 a为正数数n列,所以 a -a nn -1=2 ,即a是公差为 2 的等差数列,由 2 S =a +1,得a =1n 1 1 1,所以 a =2n -1n(2) b =n1a an n +11 1 1 1 = = ( - )(2 n -1)(2n +1) 2 2n -1 2n +1,所以a 2 +a 2nS S -112n2 2注:一般先分析数列的通项公式如果此数列的前 n项和能直接求和或者通过变形后求和,则采用先求和再放缩的方法来证明不等式求和的方式一般要用到等 差 、 等 比 、 差 比 数 列 ( 这 里 所 谓 的 差 比 数
4、 列 , 即 指 数 列 a n满 足 条件an +1-a = f (n))求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和 n二先放缩再求和1放缩后成等差数列,再求和例 2已知各项均为正数的数列 a n的前 n项和为 Sn,且 a2n+a =2 S nn.(1) 求证: S n n +14;(2) 求证: n S + S +S0 a =11 1,又由条件a 2 +a =2 S 有 a 2 +a n n n n +1n +1=2 Sn +1,上述两式相减,注意到 an +1=Sn +1-Sn得( an +1+a )( ann +1-a -1) =0 nQ a 0 a nn +1+a 0n an +
5、1-a =1n所以, a =1 +1 ( n -1) =n n, S =nn( n +1) 2所以 S =nn( n +1) 1 n 2 +( n +1) 2 a +a = n n +12 2 2 4(2)因为 n n( n +1) n +1,所以n2n ( n +1) n +1 1 2 n12+22+L+n2=n( n +1) 2 2=Sn22放缩后成等比数列,再求和例 3(1)设 a,nN*,a2,证明: a2 n-( -a)n( a +1) an ;(2)等比数列an中,a1 =-12,前n 项的和为 A ,且 A ,A ,A 成等差数列设n 7 9 82a 11 -a3, ,1n1 1
6、 1 1n 1 2n,累加得:n +1 nnn 1,所以nn,所以 S =2 -,所以 a 3 -nnnb =nn ,数列b 前 n 项的和为 B ,证明:B n n nn解:(1)当 n 为奇数时, ana,于是, a 2 n -( -a) n =a n ( a n +1) ( a +1) an 当 n 为偶数时,a11,且 ana2,于是a2 n-( -a)n=an( an-1) ( a2-1) an=( a +1)( a -1) an( a +1) an (2)A -A =a +a A -A =-a a +a =-a 9 7 8 9 8 9 9 8 9 91,公比a 1 q = 9 =-
7、a 28 a =( - ) 2n b =n4 n1 1 -( - )2n=1 14 n -( -2) n 3 2n B =b +b +Lb + +L+ = 3 2 3 22 3 2n 31 1(1 - )2 2 211 -11 1 1 = (1 - ) 01,所以 a 0 n,即 a -a = n +1 nn2 na 0n,即 a a n +1 n所以数列a n为递增数列,所以 a a =1n 1,即n n 1 2 n -1a -a = a a -a + +L+2 n 2 n 2 2 2 2 n -1令1 2 n -1 1 1 2 n -1 S = + +L+ S = + +L+2 2 2 2
8、 n -1 2 2 2 23 2 n,两式相减得:1 1 1 1 1 n -1 n +1 n +1 S = + + +L+ -2 2 2 2 23 2 n -1 2 n 2 n -1 2 n -1,故得 an +1a 3 - nn +12 n -14放缩后为裂项相消,再求和例 5在 m(m2)个不同数的排列 P P P 中,若 1ijm 时 P P (即前1 2 n i j面某数大于后面某数),则称 P 与 P 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数i j称为该排列的逆序数. 记排列 ( n +1) n( n -1) L 321的逆序数为 a ,如排列 21 的逆na an1 2n1 1 1
9、 1 1 11 2n注:常用放缩的结论:(1) -11n序数a1=1,排列 321 的逆序数 a =63(1)求 a 、a ,并写出 a 的表达式;4 5 n(2)令b = n + n +1 ,证明 2n b +b +Lb 2 =2, n =1,2, L a a n +2 n n +2 nn +1 n,所以 b +b +L +b 2 n1 2 n.又因为b =nn n +2 2 2+ =2 + - , n =1,2, L n +2 n n n +2,所以 b +b +L+b =2 n +2( - ) +( - ) +L+( - )1 3 2 4 n n +2=2 22n +3 - - 2n +3n +1 n +2.综上, 2 n b +b +Lb 2 n +3, n =1,2, L .1 2 n1 1 1 1 1 1 1= = - ( k 2) k k +1 k ( k +1) k 2 k ( k -1) k -1 k(2) 2(1k-1k +1) =2k + k +11k2k + k -1=2(1k -1-1k)( k 2)练习1 已知数列a 满足:a =1 且 2 a -3an 1 nn-1=21n-2( n 2).(