高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测：二十五 创新应用问题 Word版含解析

高考数学精品复习资料 2019.5 课时跟踪检测（二十五） 创新应用问题 1．(20xx·大连二模)定义运算：xy＝例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f(x)＝x2(2x－x2)的最大值为(　　) A．0　　　　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．4 解析：选D　由题意可得f(x)＝x2(2x－x2)＝当0≤x≤2时，f(x)∈[0,4]；当x＞2或x＜0时，f(x)∈(－∞，0)．综上可得函数f(x)的最大值为4. 2．朱载堉(1536—1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为f1，第七个音的频率为f2.则＝(　　) A. B. C．4 D. 解析：选A　设13个音的频率所成的等比数列{an}的公比为q，则依题意，有a13＝a1·q12＝2a1，所以q＝2，所以＝＝q4＝2＝. 3．(20xx·宜昌三模)已知甲、乙两车间的月产值在1月份相同，甲车间以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙车间以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到7月份发现两车间的月产值又相同，比较甲、乙两个车间4月份月产值的大小，则(　　) A．甲车间大于乙车间 B．甲车间等于乙车间 C．甲车间小于乙车间 D．不确定 解析：选A　设甲车间以后每个月比前一个月增加相同的产值a，乙车间每个月比前一个月增加产值的百分比为x，甲、乙两车间的月产值在1月份均为m，则由题意得m＋6a＝m×(1＋x)6.① 4月份甲车间的月产值为m＋3a,4月份乙车间的月产值为m×(1＋x)3， 由①知，(1＋x)6＝1＋，即4月份乙车间的月产值为m＝，∵(m＋3a)2－(m2＋6ma)＝9a2＞0，∴m＋3a＞，即4月份甲车间的月产值大于乙车间的月产值． 4.如图，某广场要规划一矩形区域ABCD，并在该区域内设计出三块形状、大小完全相同的小矩形绿化区，这三块绿化区四周均设置有1 m宽的走道，已知三块绿化区的总面积为200 m2，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为(　　) A．248 m2 B．288 m2 C．328 m2 D．368 m2 解析：选B　设绿化区域小矩形的宽为x，长为y， 则3xy＝200，∴y＝， 故矩形区域ABCD的面积 S＝(3x＋4)(y＋2)＝(3x＋4) ＝208＋6x＋≥208＋2＝288， 当且仅当6x＝，即x＝时取“＝”， ∴矩形区域ABCD的面积的最小值为288 m2. 5．已知函数y＝f(x)(x∈R)，对函数y＝g(x)(x∈R)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈R)，y＝h(x)满足：对任意的x∈R，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)＞g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________． 解析：根据“对称函数”的定义可知，＝3x＋b，即h(x)＝6x＋2b－，h(x)＞g(x)恒成立，等价于6x＋2b－＞，即3x＋b＞恒成立，设F(x)＝3x＋b，m(x)＝，作出两个函数对应的图象如图所示，当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d＝＝＝2，即|b|＝2，∴b＝2或b＝－2(舍去)，即要使h(x)＞g(x)恒成立，则b＞2，即实数b的取值范围是(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞) 6．三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？译文如下：要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高均为3丈的标杆BC和DE，前后标杆相距1 000步，使后标杆杆脚D与前标杆杆脚B与山峰脚H在同一直线上，从前标杆杆脚B退行123步到F，人眼著地观测到岛峰，A，C，F三点共线，从后标杆杆脚D退行127步到G，人眼著地观测到岛峰，A，E，G三点也共线，问岛峰的高度AH＝________步．(古制：1步＝6尺，1里＝180丈＝1 800尺＝300步) 解析：如图所示，由题意知BC＝DE＝5步，BF＝123步，DG＝127步，设AH＝h步，因为BC∥AH，所以△BCF∽△HAF，所以＝，所以＝，即HF＝.因为DE∥AH，所以△GDE∽△GHA，所以＝，所以＝，即HG＝，由题意(HG－127)－(HF－123)＝1 000，即－－4＝1 000，h＝1 255，即AH＝1 255步． 答案：1 255 7．对于定义在区间D上的函数f(x)，若存在闭区间[a，b]⊆D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f(x1)＝c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f(x2)＜c恒成立，则称函数f(x)为区间D上的“平顶型”函数．给出下列结论： ①“平顶型”函数在定义域内有最大值； ②函数f(x)＝x－|x－2|为R上的“平顶型”函数； ③函数f(x)＝sin x－|sin x|为R上的“平顶型”函数； ④当t≤时，函数f(x)＝是区间[0，＋∞)上的“平顶型”函数． 其中正确的结论是________．(填序号) 解析：由于“平顶型”函数在区间D上对任意x1∈[a，b]，都有f(x1)＝c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f(x2)＜c恒成立，所以“平顶型”函数在定义域内有最大值c，①正确；对于函数f(x)＝x－|x－2|，当x≥2时，f(x)＝2，当x＜2时，f(x)＝2x－2＜2，所以②正确；函数f(x)＝sin x－|sin x|是周期为2π的函数，所以③不正确；对于函数f(x)＝，当x≤1时，f(x)＝2，当x＞1时，f(x)＜2，所以④正确． 答案：①②④ 8．(高三·兰州八校联考)某公司为了变废为宝，节约资源，新研发了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(单位：元)与月处理量x(单位：吨)之间近似满足函数关系y＝且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油的价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴． (1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利．如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则政府每个月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损． (2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨生活垃圾的平均处理成本最低？ 解：(1)当x∈[200,300]时，设该项目所获利润为S，则S＝200x－＝－(x－400)2， 所以当x∈[200,300]时，S＜0，因此该项目不能获利． 当x＝300时，S取得最大值－5 000， 所以政府每个月至少需要补贴5 000元才能使该项目不亏损． (2)由题意可知，每吨生活垃圾的平均处理成本为 f(x)＝＝ 当x∈[120,144)时，f(x)＝x2－80x＋5 040＝(x－120)2＋240，所以当x＝120时，f(x)取得最小值240； 当x∈[144,500]时，f(x)＝x＋－200≥2－200＝200，当且仅当x＝，即x＝400时，f(x)取得最小值200，因为200＜240，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨生活垃圾的平均处理成本最低． 9．为了维持市场持续发展，壮大集团力量，某集团在充分调查市场后决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，打入国际市场．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)： 年固定成本 每件产品的成本 每件产品的销售价 每年可最多生产的件数 甲产品 20 a 10 200 乙产品 40 8 18 120 其中年固定成本与年生产的件数无关，a为常数，且6≤a≤8.另外，当年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设所生产的产品均可售出． (1)写出该集团分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x(x∈N*)之间的函数关系式； (2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润； (3)如何决定投资可使年利润最大． 解：(1)y1＝(10－a)x－20(1≤x≤200，x∈N*)， y2＝－0.05x2＋10x－40(1≤x≤120，x∈N*)． (2)∵10－a＞0，故y1为增函数， ∴当x＝200时，y1取得最大值1 980－200a，即投资生产甲产品的最大年利润为(1 980－200a)万美元． y2＝－0.05(x－100)2＋460(1≤x≤120，x∈N*)， ∴当x＝100时，y2取得最大值460，即投资生产乙产品的最大年利润为460万美元． (3)为研究生产哪种产品年利润最大，我们采用作差法比较： 由(2)知生产甲产品的最大年利润为(1 980－200a)万美元，生产乙产品的最大年利润为460万美元， (1 980－200a)－460＝1 520－200a，且6≤a≤8， 当1 520－200a＞0，即6≤a＜7.6时，投资生产甲产品200件可获得最大年利润； 当1 520－200a＝0，即a＝7.6时，生产甲产品与生产乙产品均可获得最大年利润； 当1 520－200a＜0，即7.6＜a≤8时，投资生产乙产品100件可获得最大年利润． 10．某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩(单位：分)评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果如下表，对应的频率分布直方图如图所示. 等级 不合格 合格 成绩 [20,40) [40,60) [60,80) [80,100] 频数 6 a 24 b (1)求a，b，c的值； (2)用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中选取10人进行座谈，现从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)； (3)某评估机构以指标MM＝，其中D(ξ)表示ξ的方差来评估该校安全教育活动的成效．若M≥0.7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案．在(2)的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？ 解：(1)由频率分布直方图，可知成绩在[20,40)内的频率为0.005×20＝0.1， 故抽取的学生答卷数为＝60， 由频率分布直方图可知，得分在[80,100]内的频率为0.01×20＝0.2， 所以b＝60×0.2＝12. 又6＋a＋24＋12＝60， 所以a＝18，所以c＝＝0.015. (2)“不合格”与“合格”的人数之比为24∶36＝2∶3， 因此抽取的10人中“不合格”的学生有4人，“合格”的学生有6人， 所以ξ的所有可能取值为20,15,10,5,0. 所以P(ξ＝20)＝＝，P(ξ＝15)＝＝， P(ξ＝10)＝＝，P(ξ＝5)＝＝， P(ξ＝0)＝＝. 所以ξ的分布列为： ξ 20 15 10 5 0 P E(ξ)＝20×＋15×＋10×＋5×＋0×＝12. (3)由(2)可得 D(ξ)＝(20－12)2×＋(15－12)2×＋(10－12)2×＋(5－12)2×＋(0－12)2×＝16， 所以M＝＝＝0.75＞0.7， 故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案．