最短途径问题（珍藏版）【问题概述】最短途径问题是图论研究中的一种典型算法问题， 旨在寻找图（由结点和途径构成的）中两结点之间的最短途径．算法具体的形式涉及：①拟定起点的最短途径问题 - 即已知起始结点，求最短途径的问题．②拟定终点的最短途径问题 - 与拟定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短途径的问题．③拟定起点终点的最短途径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短途径．④全局最短途径问题 - 求图中所有的最短途径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【波及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年浮现“三折线”转“直”等变式问题考察．【十二个基本问题】【问题 1】作法图形原理在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小．连 AB，与 l 交点即为 P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为 AB．【问题 2】“将军饮马”作法图形原理在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小．作 B 有关 l 的对称点 B＇ 连 A B＇，与 l 交点即为 P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为 A B＇．【问题 3】作法图形原理在直线l1 、l2 上分别求点M、N，使△PMN 的周长最小．分别作点 P 有关两直线的对称点 P＇和 P＇，连 P＇P＇与两直线交点即为 M，N．，两点之间线段最短．PM+MN+PN 的最小值为线段 P＇P＇＇的长．【问题 4】作法图形原理在直线l1 、l2 上分别求点M 、N，使四边形 PQMN的周长最小．分别作点 Q 、P 有关直线l1 、l2 的对称点 Q＇和 P＇ 连 Q＇P＇，与两直线交点即为 M，N．两点之间线段最短． 四边形 PQMN 周长的最小值为线段 P＇P＇＇的长．【问题 5】“造桥选址”作法图形原理直线 m ∥ n ，在 m 、 n ， 上分别求点 M、N，使 MN⊥ m ，且 AM+MN+BN 的值最小．将点 A 向下平移 MN 的长度单位得 A＇，连 A＇B，交 n 于点 N，过 N 作 NM⊥ m 于 M．两点之间线段最短．AM+MN+BN 的最小值为A＇B+MN．【问题 6】作法图形原理在直线l 上求两点 M、N（M在左），使 MN = a ，并使AM+MN+NB 的值最小．将点 A 向右平移 a 个长度单位得 A＇，作 A＇有关l 的对称点 A＇＇，连 A＇＇B，交直线 l 于点 N，将 N 点向左平移 a 个单位得 M．两点之间线段最短．AM+MN+BN 的最小值为A＇＇B+MN．【问题 7】作法图形原理在 l1 上求点 A，在 l2 上求点 B，使 PA+AB 值最小．作点 P 有关 l1 的对称点P＇，作 P＇B⊥ l2 于 B，交l2 于 A．点到直线，垂线段最短．PA+AB 的最小值为线段 P＇B的长．【问题 8】作法图形原理A 为 l1 上一定点，B 为l2 上一定点，在l2 上求点 M， 在 l1 上 求 点 N ， 使AM+MN+NB 的值最小．作点 A 有关 l2 的对称点A＇，作点 B 有关 l1 的对称点 B＇，连 A＇B＇交l2 于M，交 l1 于 N．两点之间线段最短．AM+MN+NB 的最小值为线段 A＇B＇的长．【问题 9】作法图形原理在直线 l 上求一点 P，使连 AB，作 AB 的中垂线与直线 l 的交点即为 P．垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．PA - PB ＝0．PA - PB的值最小．【问题 10】作法图形原理在直线 l 上求一点 P，使PA - PB 的值最大．作直线 AB，与直线 l 的交点即为 P．三角形任意两边之差不不小于第三边． PA - PB ≤AB．PA - PB 的最大值＝AB．【问题 11】作法图形原理在直线 l 上求一点 P，使PA - PB 的值最大．作 B 有关 l 的对称点 B＇ 作直线 A B＇，与 l 交点即为 P．三角形任意两边之差不不小于第三边． PA - PB ≤AB＇．PA - PB 最大值＝AB＇．【问题 12】“费马点”作法图形原理△ABC 中每一内角都不不小于120°，在△ABC 内求一点P，使 PA+PB+PC 值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．以 AB、AC为边向外作等边△ABD、△ACE，连 CD、BE 相交于 P，点 P 即为所求．两点之间线段最短．PA+PB+PC 最小值＝CD．【精品练习】1. 如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A. 2B. 2A DC．3 D．B C2. 如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，若将△ACD 绕点 A 旋转，当 AC′、AD′分别与 BC、CD交于点 E、F，则△CEF 的周长的最小值为（ ）A．2 B． 2C． 2 + D．43. 四边形 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使△AMN 的周长最小时，∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）A．120° B．130° C．110° D．140°4. 如图，在锐角△ABC 中，AB＝4 ，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB上的动点，则 BM+MN 的最小值是 ．5. 如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，点 E 在 AB 边上，点 D 在 BC 边上（不与点 B、C 重叠），且 ED＝AE，则线段 AE 的取值范畴是 ．6. 如图，∠AOB＝30°，点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM＝1，ON＝3，点 P、Q 分别在边 OB、OA 上， 则 MP＋PQ＋QN 的最小值是 ．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方， 即 Rt△ABC 中，∠C＝90°，则有 AC 2 + BC 2 = AB 2 ）7. 如图，三角形△ABC 中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点 B 在 x 轴的正半轴，坐标为 B( 6 ，0)．OC 平分∠AOB，点 M 在 OC 的延长线上，点 N 为边 OA 上的点，则 MA＋MN 的最小值是 ．8. 已知 A（2，4）、B（4，2）．C 在 y 轴上，D 在 x 轴上，则四边形 ABCD 的周长最小值为 ， 此时 C、D 两点的坐标分别为 ．9．已知 A（1，1）、B（4，2）．（1）P 为 x 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值和此时 P 点的坐标；（2）P 为 x 轴上一动点，求 PA - PB 的值最大时 P 点的坐标；（3）CD 为 x 轴上一条动线段，D 在 C 点右边且 CD＝1，求当 AC+CD+DB 的最小值和此时 C 点的坐标；10. 点 C 为∠AOB 内一点．（1） 在 OA 求作点 D，OB 上求作点 E，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2） 在（1）的条件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．11. （1）如图①，△ABD 和△ACE 均为等边三角形，BE、CE 交于 F，连 AF，求证：AF+BF+CF＝CD；。