九年级数学上册第三章圆的基本性质微专题平面图形的滚动问题及不规则图形面积的求法随堂练习含解析新版浙教

微专题__平面图形的滚动问题及不规则图形面积的求法__ 一　平面图形的滚动问题 (教材P94阅读材料：生活离不开圆) 人们的生活离不开圆．车轮设计成圆形(如图1)，这是因为圆周上的点到圆心的距离都相等，车子行驶起来平稳，并且圆形的车轮滚动时摩擦力小，行驶起来比较省力．如果把车轮做成三角形、四边形或者椭圆，那么可以想象汽车在行驶的时候颠上颠下，谁都难以忍受这种折腾． 图1 你能自己发现一些圆在现实生活中应用的例子吗？ 解：略． 　[2017·达州]如图2，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2 017次．若AB＝4，AD＝3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为(　D　) 图2 A．2 017π B．2 034π C．3 024π D．3 026π 【解析】 转动第一次A的路线长是＝2π，转动第二次的路线长是＝π，转动第三次的路线长是＝π，转动第四次的路线长是0，转动第五次A的路线长是＝2π，以此类推，每四次一循环，故顶点A转动四次经过的路线长为2π＋π＋π＝6π，∵2 017÷4＝504……1，∴这样连续旋转2 017次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是6π×504＋2π＝3 026π.故选D. 　如图3，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成图形的面积为(　C　) 图3 A.＋ B.＋1 C．π＋1 D．π＋ 【解析】 点A的路径线如答图所示． 变形2答图 点A运动的路径线与x轴围成的面积为S1＋S2＋S3＋2S＝＋＋＋2×＝π＋1.故选C. 　如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1.将其放入平面直角坐标系，使点A与原点重合，AB在x轴上．△ABC沿x轴顺时针无滑动的滚动，点A再次落在x轴时停止滚动，则点A经过的路线与x轴围成图形的面积为__π＋__． 　　图4 　　变形3答图 【解析】 如答图，S＝×π×()2 ＋＋π＝π＋. 　如图5，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝，∠ACB＝90°，∠A＝30°，若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为__(4＋)π__(结果用含π的式子表示)． 图5 【解析】 ∵在Rt△ABC中，AC＝，∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴BC＝1，AB＝2BC＝2，∠ABC＝60°， ∴Rt△ABC在直线l上无滑动的翻转，且点A第3次落在直线l上时，经过的路线长为×3＋×2＝(4＋)π. 　[2017·齐齐哈尔]如图6，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3，4)，B(－5，2)，C(－2，1)． (1)画出△ABC关于y轴对称图形△A1B1C1； (2)画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2； (3)求(2)中线段OA扫过的图形面积． 图6 　变形5答图 解： (1)如答图，△A1B1C1即为所求； (2)如答图，△A2B2C2即为所求； (3)∵OA＝＝5， ∴线段OA扫过的图形面积＝＝π. 二　求不规则图形面积的技巧 (教材P106课内练习第3题) 如图7，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所围成的两个新月形，它的面积与直角三角形的面积有什么关系？请说明理由． 图7 解：相等，理由：阴影部分的面积可以看做是一个直角三角形与两个以直角边为直径的半圆的面积和减去以斜边为直径的半圆面积所得的差，即S阴影＝π×＋π×＋AC·BC－π× ＝(AC2＋BC2－AB2)＋AC·BC ＝AC·BC＝S△ABC. 【思想方法】 将阴影部分的面积转化为规则图形面积的和差． 技巧一　用覆盖法求图形的面积 　[2016·重庆B卷]如图8，在边长为6的菱形ABCD中， 　图8 ∠DAB＝60°，以D为圆心，菱形的高线DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是(　A　) A．18－9π B．18－3π C．9－ D．18－3π 【解析】 图中阴影部分的面积等于菱形的面积减去扇形EDG的面积． ∵在Rt△DAF中，AD＝6，∠DAB＝60°， ∴DF＝3， ∴S菱形ABCD＝AB·DF＝6×3＝18， S扇形EDG＝×π×(3)2＝9π， ∴S阴影＝18－9π.故选A. 　[2017·资阳]如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，则图中阴影部分的面积为(　D　) 图9 A.π B.π C.π D.π 【解析】 由勾股定理，得AB＝＝5.由旋转的性质可知△ABC≌△ADE，且∠DAB＝30°.∴S阴影＝S△ABC＋S扇形ADB－S△ADE＝S扇形ADB＝＝π.故选D. 　[2016·深圳]如图10，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为(　A　) A．2π－4 B．4π－8 C．2π－8 D．4π－4 图10 　　变形3答图 【解析】 如答图，连结OC， ∵C是的中点，CD＝2， ∴∠COD＝45°，OC＝4. ∴S阴影＝S扇形BOC－S△OCD＝×π×42－×(2)2＝2π－4.故选A. 　如图11，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积． 图11 解：由图形可以看出，S阴影＝四个半圆的面积－正方形的面积＝πa2－a2. 技巧二　用割补法求图形的面积 　[2016·资阳]如图12，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，以B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若D为AB的中点，则阴影部分的面积是(　A　) 图12 A．2－π B．4－π C．2－π D.π 【解析】 ∵D为AB的中点， ∴BC＝BD＝AB， ∵∠ACB＝90°，∴∠A＝30°，∠B＝60°. ∵AC＝2，∴BC＝2， ∴S阴影＝S△ABC－S扇形CBD＝×2×2－＝2－π.故选A. 　[2017·淄博]如图13，半圆的直径BC恰与等腰直角三角形ABC的一条直角边完全重合，若BC＝4，则图中阴影部分的面积是(　A　) A．2＋π B．2＋2π C．4＋π D．2＋4π 图13 　　变形6答图 【解析】 如答图，设AB与半圆O交于点D，连结DO，CD.∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠CBA＝45°，∴∠DOC＝90°.利用分割的方法，得到阴影部分的面积由△BOD的面积和扇形COD的面积两部分组成，故阴影部分的面积＝×2×2＋π×22＝2＋π. 技巧三　用旋转法求图形的面积 　如图14，在正方形ABCD中，AD＝2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB延长线上的点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连结EF，CG. (1)求证：EF∥CG； (2)求点C，点A在旋转过程中形成的，与线段CG所围成的阴影部分的面积． 图14 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝AD＝2，∠ABC＝90°. ∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得△BFA， ∴△ABF≌△CBE， ∴∠FAB＝∠ECB，∠ABF＝∠CBE＝90°，AF＝CE，∴∠AFB＋∠FAB＝90°. ∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG， ∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，AF＝FG， ∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB，∴EC∥FG. ∵AF＝CE，AF＝FG，∴EC＝FG， ∴四边形EFGC是平行四边形，∴EF∥CG； (2)∵△ABF≌△CBE，∴BF＝BE＝AB＝1， ∴AF＝＝. 在△FEC和△CGF中， ∴△FEC≌△CGF(SAS)，∴S△FEC＝S△CGF. ∴S阴影＝S扇形ABC＋S△ABF＋S△FGC－S扇形AFG＝＋×2×1＋×(1＋2)×1－＝－. 1