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1、抢渡长江摘要 本文应用物理动力运动知识、微积分、图论法,针对不同的竞渡情程况建立了约束性最优解模型,通过分析求解，得出最优的竞渡方案及所用时间，并将模型的应用推广至航空、航海等领域.对于问题1,根据题目给出了两种具体竞渡情况可以作出相应的矢量三角形,将速度分解，列出等式,即可求得结果.对于问题2,在假设成立的条件下,建立关于速度的矢量三角形模型,应用比例分析法，从而可分析出两次比赛到达终点人数的百分比差异很大的原因,并得出选手成功到达终点的条件.对于问题3以第一题得出的，“如果水速均匀，那么通过的最短方式为，速度的大小方向不变，走直线路径为根底，讨论水流分段速度相等时的方案优劣，并通过多元函数
2、求极值的方法求的给定条件下的具体最优方案。对于问题4先从一般情况出发，对最优策略的求得方法进行了探讨，然后结合可计算性，提出了任意水速的变化情况下的最优策略和成绩的算术求解方法和程序求解方法，并按问题4的具体条件进行了求解。最后结合实际,通过对模型的分析总结给有意参加竞渡的游泳爱好者提供一些策略,并将动态优化模型应用推广到航空航天和航海等领域.1、问题的重述“渡江是武汉城市的一张名片.1934年9月9日,武汉警备旅官兵与体育界人士联手,在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动,起点为武昌汉阳门码头,终点设在汉口三北码头,全程约5000米.有44人参加横渡,40人到达终点,张学良将军特意向冠军获得者
3、赠送了一块银盾,上书“力挽狂澜.2001年,“武汉抢渡长江挑战赛重现江城.2002年,正式命名为“武汉国际抢渡长江挑战赛,于每年的5月1日进行.由于水情、水性的不可预测性,这种竞赛更富有挑战性和欣赏性.2002年5月1日,抢渡的起点设在武昌汉阳门码头,终点设在汉阳南岸咀,江面宽约1160米.据报载,当日的平均水温16.8, 江水的平均流速为1.89米/秒.参赛的国内外选手共186人其中专业人员将近一半,仅34人到达终点,第一名的成绩为14分8秒.除了气象条件外,大局部选手由于路线选择错误,被滚滚的江水冲到下游,而未能准确到达终点.假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160
4、米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000米,见题目示意图.请你们通过数学建模来分析上述情况, 并答复以下问题: 1假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变,且竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/秒.试说明2002年第一名是沿着怎样的路线前进的,求她游泳 速度的大小和方向.如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向,试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择游泳方向,并估计他的成绩.2在1的假设下,如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么 1934年 和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差异；给出能够成功到达终点的选手的条件
5、.3假设流速沿离岸边距离的分布为 (设从武昌汉阳门垂直向上为 y轴正向) ： 游泳者的速度大小1.5米/秒仍全程保持不变,试为他选择游泳方向和路线,估计他的成绩.4 假设流速沿离岸边距离为连续分布, 例如 或你们认为适宜的连续分布,如何处理这个问题.5用普通人能懂的语言,给有意参加竞渡的游泳爱好者写一份竞渡策略的短文.6模型还可能有什么其他的应用？2、问题的符号与假设2.1 模型的假设（1） 竞渡在平面区域进行（2） 参赛者的游泳速度给定（3） 选手在竞渡过程中状态良好（4） 不考虑竞赛当天的天气状况对算手的影响（5） 将选手看作质点（6） 假设区域两岸平行（7） 不考虑地理因素对选手的影响2
6、.2 符号说明v为游泳者在竞渡中的速度大小.为游泳者在竞渡中速度方向与河岸的夹角.t为游泳者在竞渡中的时间. H示竞渡区域两岸的垂直距离1160米. L表示从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离1000米 v0表示水流的速度1.89米/秒. v1表示游泳者在水中的合速度. d表示游泳者的实际路程.3、问题的分析该问题属于一定约束条件下的动态优化问题.通过对问题由简单到复杂的分析,在相应约束条件下,得到最优解,从而得出竞渡的策略.在问题1中,游泳者的速度大小和方向不变且水流速度均为1.89m/s,可以建立相应的矢量三角形模型,又由运动的合成与分解可以分析得出游泳者的竞渡路线起点与终点的连线，以及
7、在竞渡过程中游泳者始终做匀速直线运动.通过以上分析列出水平竖直方向上的等式,便可求解此题.在水速均匀的情况下，可以以水为参照系，那么对于任意的游泳情况，都是游泳者从水的一边游到另一边，根据两点之间直线距离最短的公理可知游直线绝对距离游泳者靠自身力量位移的距离最短，方法最优。在问题2中,在问题1假设成立的前提条件下,游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 确定游泳者的运动轨迹，建立此情况下的矢量三角形，即模型1，列出相应的等式,便可以分析得出游泳者能否到达终点.由此模型,以及将速度在水平和垂直方向上的分解列出的等式,综合1934年和2002年抢渡路线附图2,由于终点位置不同,引起水平位移不同,导致在速
8、度大致相同的情况下,选择相同的路线,1934年可以到达终点二2002年无法到达终点.由此也可总结出,选手是否能到达终点,主要取决于路线的选择,及游泳者速度方向的选择.在问题3，中从前两问可知，游泳者必须用很大的速度来抵消江水的作用，那么在直觉上，应当尽量减少高速江水的作用时间，缩短在江心的逗留时间。然而具体策略中的数值需建立方程求得。结合问题1的结论，用图论法可知，最优的路径中通过各段内部时走的一定是直线。由于只有两次可能的速度改变，因此可以忽略水速连续变化时加速度用时产生的路径偏移作用。在问题4中, 在问题3的根底上建立更普遍的模型，同时由于速度可能改变无限屡次，因此要考虑水速连续变化时加速
9、度用时产生的路径偏移作用。普遍情况的求解过程比拟复杂，计算方法受中间结果的影响较大，有很强的技巧性和时机性，详见模型的建立与求解中的问题4局部。另外，由于水流速度连续变化，因此游泳者的速度也可能连续变化，这可能需要用到力学方面的知识进行一般的讨论。4.模型的建立与求解4.1依据题目条件，建立给定的矢量三角形模型 在游泳者在竞渡中的速度大小和方向保持不变条件下建立适量三角形模型, v1表示游泳者在水中的合速度,d表示游泳者的实际路程. 那么： v1 =. 解得v1= 1.8061 (5 )/53m/s. d= 由上可知,第一名的合速度大于水流速度,画出如下示意图：图1.1 模型1-1 根据游泳者
10、地速度路程等关系列出以下方程组： =t =tt=848根据实际情况将求得的x的负值舍弃：求得： v=1.54155m/s. v=1.54155m/s. =2.6624. 舍弃 或 =27.456.t=848s. t=848s. 所以：第一名速度的大小为27.456,方向为向上游偏转0.479914. 游泳者在竞渡中的速度大小和方向保持不变,根据游泳者地速度路程等关系列出以下方程组：=t=tv=1.5 由于游泳者的速度大小小于水流速度的大小,所以游泳者速度的方向与水流反方向的夹角应为锐角,如下图：图1.2 模型1-2根据实际意义,将负值舍去求得： =93.220. = 32.070. t=194
11、8.63s. 或 t=910.46s.所以该游泳者的游泳方向为偏向上游32.070,成绩为910.46s.4.2最为理想化的模型，建立模型1人速、水速恒定不变游泳者在竞渡中的速度大小和方向保持不变,游泳者始终以和岸边垂直的方向游.根据游泳者地速度路程等关系可讲游泳者的速度分解成沿河岸和垂直河岸两个方向,列出以下方程组 =t. 解得： v=2.1924m/s. =t. t=529.101s.由上可看出,假设游泳者始终以和岸边垂直的方向游且速度大小保持不变,那么要能到达目的地,游泳者的速度大小必须为2.1924m/s.而现在世界上人类的游泳记录为 所以他们不可能以垂直的速度方向到达终点.为了分析1
12、934年和2002年能游到终点的人数的百分比为什么有如此大的差异,先建立一个模型,假设两次比赛中,参赛者的体能游泳技术相当,水流速度一样都为v0为1.89米/秒,两岸的垂直距离都为s为1160米,沿水流方向起始位置到终点位置的距离为l,据分析,游泳者的合速度沿着起点指向终点的方向,所需的时间最短.那么,以沿水流方向起始位置到终点位置的距离l为变量,分析当l取不同的值时,游泳者能到达终点的最小游泳速度的大小,以此来分析能到达终点人数的百分比情况：假设： 设游泳者在竞渡中的速度大小和方向保持不变,符号说明： v为游泳者在竞渡中的速度大小. 为游泳者在竞渡中速度方向与河岸的夹角. t为游泳者在竞渡中
13、的时间. s示竞渡区域两岸的垂直距离1160米 l表示从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离1000米 v0表示水流的速度1.89米/秒. v1表示游泳者在水中的合速度. d表示游泳者的实际路程.如图：图1.3 模型1-3根据三角形定理可得出v与v0的关系：= 即可得： v= *v0因为水流速度方向与合速度方向的夹角大小是一定的即sin是一个定值,且水流速度v是一个为一只常量,为了使游泳者的速度v取得最小值,那么须使得sin取得最大值1即=90,所以当游泳者的速度v与水流速度v0的反方向的夹角为90即两者垂直的时候游泳者可以最小的速度到达终点.图1.4 模型1-4 根据路程关系可得： tan=
14、. 根据速度构成的三角形关系可得： v=v0*sin. 两个式子构成方程组： tan= 解得：v=v0*sin带入1934年的数据可得出速度的最小值v1=0.98058m/s.带入2002年的数据可得出速度的最小值v2= 0.70711 m/s.由此可看出,要到达1934的最小值 比拟容易,而要到达2002年地速度的最小值 那么比拟难,所以1934年能游到终点的人数的百分比比2002年能够游到终点的人数的百分比大得多.水流速度一样都为v0为1.89米/秒,两岸的垂直距离都为s为1160米,那么根据2.2中的假设以及分析可得： 1934年的比赛中,游泳者能够成功到达终点的条件为其速度大于v1即0.98058m/s. 2002年的比赛中,游泳者能够成功到达终点的条件为其速度大于v2即4.3水流速度在固定区域保持不变模型根据题意，在0my200m的区域为区域，200my96
