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1、数列的极限一、知识要点1数列极限的定义:一般地,如果当项数无限增大时,无穷数列的项无限趋近于某个常数(即|ana|无限地接近于0),那么就说数列以为极限记作(注:a不一定是an中的项)2几个重要极限: (1) (2)(C是常数)(3)(4)3. 数列极限的运算法则:如果那么4无穷等比数列的各项和公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和,当n无限增大时的极限,叫做这个无穷等比数列各项的和,记做二、方法与技巧只有无穷数列才可能有极限,有限数列无极限.运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.(参与运算的数列都有极限,运算法则适应有限个数列情形)求数列极限最后往往转化为或型的极限.
2、求极限的常用方法:分子、分母同时除以或.求和(或积)的极限一般先求和(或积)再求极限.利用已知数列极限(如等).含参数问题应对参数进行分类讨论求极限.,00,等形式,必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限题型讲解 例1 求下列式子的极限:; ; ; ; (2) (n);(3)(+)例2 的( )A 充分必要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件例3 数列an和bn都是公差不为0的等差数列,且=3,求的值为 例4 求 (a0);例5 已知,求实数a,b的值;例6 已知等比数列an的首项为a1,公比为q,且有(qn)=,求a1的取值范围例7 已知数列an是由正
3、数构成的数列,a13,且满足lganlgan1lgc,其中n是大于1的整数,c是正数(1)求数列an的通项公式及前n和Sn;(2)求的值数列极限课后检测1下列极限正确的个数是( )=0(0) qn=0 =1 C=C(C为常数)A2B3 C4 D都不正确3下列四个命题中正确的是( )A若an2A2,则anA B若an0,anA,则A0C若anA,则an2A2 D若(anb)0,则anbn5若数列an的通项公式是an=,n=1,2,则 (a1+a2+an)等于( ) A B C D6数列an中,的极限存在,a1=,an+an+1=,nN*,则(a1+a2+an)等于( )A B C D7=_ =_
4、 n(1)(1)(1)(1)= 8已知a、b、c是实常数,且=2, =3,则的值是( )9 an中a1=3,且对任意大于1的正整数n,点(,)在直线xy=0上,则=_10等比数列an公比q=,且(a1+a3+a5+a2n1)=,则a1=_11已知数列an满足(n1)an+1=(n+1)(an1)且a2=6,设bn=an+n(nN*)(1)求bn的通项公式;(2)求(+)的值12已知an、bn都是无穷等差数列,其中a1=3,b1=2,b2是a2与a3的等差中项,且 =,求极限 (+)的值例题解析答案例1 分析:的分子有界,分可以无限增大,因此极限为0; 的分子次数等于分母次数,极限为两首项(最高
5、项)系数之比; 的分子次数小于于分母次数,极限为0 解:; ; 点评:分子次数高于分母次数,极限不存在;分析:(4)因为分子分母都无极限,故不能直接运用商的极限运算法则,可通过变形分子分母同除以n2后再求极限;(5)因与n都没有极限,可先分子有理化再求极限;(6)因为极限的运算法则只适用于有限个数列,需先求和再求极限解:(1)=(2) (n)= =(3)原式=(1+)=1点评:对于(1)要避免下面两种错误:原式=1,(2n 2+n+7), (5n2+7)不存在,原式无极限对于(2)要避免出现下面两种错误:(n)= n=0;原式=n=不存在对于(3)要避免出现原式=+=0+0+0=0这样的错误例
6、2 B例3 数列an和bn都是公差不为0的等差数列,且=3,求的值为解:由=3d1=3d2 ,= 点评:化归思想例4 求 (a0);解:=点评:注意分类讨论例5 已知,求实数a,b的值;解:=1, a=1,b=1例6 已知等比数列an的首项为a1,公比为q,且有(qn)=,求a1的取值范围解: (qn)=,qn一定存在0|q|1或q=1当q=1时,1=,a1=3当0|q|1时,由(qn)=得=,2a11=q0|2a11|10a11且a1综上,得0a11且a1或a1=3 例7 已知数列an是由正数构成的数列,a13,且满足lganlgan1lgc,其中n是大于1的整数,c是正数(1)求数列an的
7、通项公式及前n和Sn;(2)求的值解:(1)由已知得anan1,an是以a13,公比为c的等比数列,则an3n1Sn(2) 当c=2时,原式;当2时,原式;当02时,原式=点评:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用试卷解析1 答案:B3解析:排除法,取an()n,排除A;取an,排除;取anbnn,排除D答案:C5 解析:an=即an=a1+a2+an=(21+23+25+)+(32+34+36+)(a1+a2+an)=+=答案:C6 解析:2(a1+a2+an)=a1+(a1+a2)+(a2+a3)+(a3+a4)+(an1+an)+an=+an原式=+an=(+an)an+an+1=,an
8、+an+1=0an=0 答案:C7 解析:原式=0 = 解析: n(1)(1)(1)(1)=n=2 答案:C8解析: 答案:D 由=2,得a=2b由=3,得b=3c,c=b=6= =69析:由题意得= (n2)是公差为的等差数列,=+(n1)=nan=3n2=310析:q=, (a1+a3+a5+a2n1)=a1=211 解:(1)n=1时,由(n1)an+1=(n+1)(an1),得a1=1n=2时,a2=6代入得a3=15同理a4=28,再代入bn=an+n,有b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,由此猜想bn=2n2要证bn=2n2,只需证an=2n2n当n=1时,a1=2121=1成立假设当n=k时,ak=2k2k成立那么当n=k+1时,由(k1)ak+1=(k+1)(ak1),得a k+1=(ak1)=(2k2k1)=(2k+1)(k1)=(k+1)(2k+1)=2(k+1)2(k+1)当n=k+1时,an=2n2n正确,从而bn=2n2(2)(+)=(+)=+=1+=1+=12 解:an、bn的公差分别为d1、d22b2=a2+a3,即2(2+d2)=(3+d1)+(3+2d1),2d23d1=2又=,即d2=2d1,d1=2,d2=4an=a1+(n1)d1=2n+1,bn=b1+(n1)d2=4n2=()原式=(1)=