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1、2.4.1抛物线的标准方程【教学目的】：1、掌握抛物线中的定义和标准方程及其推导过程，理解抛物线中的基本量；2、能够熟练画出抛物线的草图，进一步提高学生“应用数学”的水平；【教学重点】：抛物线的标准方程【教学难点】：抛物线标准方程的不同形式【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教 具】：多媒体、实物投影仪 【教学过程】：一、复习引入： 1、回顾椭圆和双曲线的定义2、生活中抛物线的引例：3、把一根直尺固定在图板上直线L位置，把一块三角板的一条直角边紧靠着真心直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角板的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角标顶点C的长（即点A到直线L的距离），并且把绳
2、子的另一端固定在图板上的一点F 用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线 二、讲解新课：1、 抛物线定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线 注: (1)定点不在这条定直线； (1)定点在这条定直线，则点的轨迹是什么？2、推导抛物线的标准方程：如图所示，建立直角坐标系，设（）,那么焦点的坐标为，准线的方程为，设抛物线上的点，则有化简方程得 方程叫做抛物线的标准方程（1）它表示的抛物线的焦点在轴的正半轴上，焦点坐标是，它的准线方程是 （2）一条抛物线，由于
3、它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下 3、抛物线的准线方程：如图所示，分别建立直角坐标系，设出（），则抛物线的标准方程如下：(1), 焦点:，准线：(2), 焦点:，准线：(3), 焦点:，准线：(4) , 焦点:，准线：相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称； 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即；不同点：(1)图形关于轴对称时，为一次项，为二次项，方程右端为、左端为；图形关于轴对称时，为二次项，为一次
4、项，方程右端为，左端为 （2）开口方向在轴（或轴）正向时，焦点在轴（或轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在轴（或轴）负向时，焦点在轴（或轴）负半轴时，方程右端取负号 三、讲解范例：例1 （1）已知抛物线标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程 （2）已知抛物线的焦点坐标是（0，2），求它的标准方程分析：（1）在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用的代数式表示的，所以只要求出即可（2）求的是标准方程，因此所指抛物线应过原点，结合焦点坐标求出，问题易解。解析：（1），焦点坐标是（，0）准线方程是（2）焦点在轴负半轴上，2，所以所求抛物线的标准议程是例2 求满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点坐标
5、是F（5，0）（2）经过点A（2，3）分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p，因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求出p值就可以写出其方程，但要注意两解的情况解：（1）焦点在x轴负半轴上，5，所以所求抛物线的标准议程是（2）经过点A（2，3）的抛物线可能有两种标准形式：y22px或x22py点A（2，3）坐标代入，即94p，得2p点A（2，3）坐标代入x22py，即46p，得2p所求抛物线的标准方程是或x2y例2 已知抛物线的标准方程是（1），（2），求它的焦点坐标和准线方程分析：这是关于抛物线标准方程的基本例题，关键是（1）根据示意图确定属于哪类标准形式，（2）求出参数的值解：（1），
6、焦点坐标是（3，0）准线方程（2）先化为标准方程，焦点坐标是（0，），准线方程是.四、课堂练习：1求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 （1）y28x（2）x24y （3）2y23x0（4）2根据下列条件写出抛物线的标准方程 （1）焦点是F（2，0） （2）准线方程是（3）焦点到准线的距离是4，焦点在y轴上（4）经过点A（6，2）3抛物线x24y上的点p到焦点的距离是10，求p点坐标 点评：练习时注意（1）由焦点位置或准线方程正确判断抛物线标准方程的类型；（2）p表示焦点到准线的距离故p0； （3）根据图形判断解有几种可能 五、小结 ：小结抛物线的定义、焦点、准线及其方程的概念； 六、课后作业：七
7、、板书设计（略）抛物线的几何性质（1） 抛物线的几何性质下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p0)出发来研究它的几何性质(二)几何性质怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质？以y2=2px(p0)为例，用小黑板给出下表，请学生对比、研究和填写（2） 例题的讲解与引申 例3有2种解法；解法一运用了抛物线的重要性质：抛物线上任一点到焦点的距离(即此点的焦半径)等于此点到准线的距离可得焦半径公式设P(x0，这个性质在解决许多有关焦点的弦的问题中经常用到，因此必须熟练掌握(2)由焦半径不难得出焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)，若A(x1，y1)、B(
8、x2，y2)则有|AB|=x1+x2+p特别地：当ABx轴，抛物线的通径|AB|=2p例4涉及直线与圆锥曲线相交时，常把直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程，然后用韦达定理求解，这是解决这类问题的一种常用方法附 教学教案抛物线及其标准方程（一）一、 、教学目标：（一）、教学知识点 1、抛物线的定义 2、抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点和准线。（二）、能力要求 1、掌握抛物线定义及其标准方程 2、理解标准方程中参数P的几何意义，能根据已知条件求抛物线的标准方程，并会由标准方程求相应准线方程，焦点坐标，画出其图形。 3、进一步掌握解析几何坐标法思想，会用坐标法
9、建立抛物线的方程。 4、培养学生主动探索精神，提高学生分析、对比、概括等方面能力，渗透数形结合，函数方程分类讨论等数学思想。（三）、德育渗透目标根据圆锥曲线的统一定义，可以对学生进行运动、变化、对立、统一的辨证唯物主义思想教育。二、 教学重点：1、 抛物线的定义2、 标准方程的建立三、 教学难点:1、 抛物线的标准方程的推导及四种图形。2、 抛物线定义及焦点、准线等知识的灵活运用。四、 教学方法诱思探究法通过回忆椭圆及双曲线定义引入抛物线并引导学生主动分析探索其标准方程等相关知识。五、 教学设计（一）、课题导入 前面我们学习了椭圆和双曲线，我们共同顾一下椭圆和双曲线的第二定义，也即（如图示）平
10、面内与一个定点F的距离和一条定直线L的距离的比是常数e的点M的轨迹，当0e1时是椭圆，当e1时是双曲线。那么当e=1时它是什么曲线呢？（1）同学们注意观察动画演示，回答问题。 如图示，把一根直尺固定在图上直线L的位置，把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A,取绳长等于点到直角顶点C的长，并且把绳子的另一端固定在图上一定点F。用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出一条曲线。问题笔尖（设为动点M）在运动过程中满足的条件是什么m此曲线是否为椭圆或一支双曲线？为什么？如果不是猜想它是
11、什么？（2）观察、讨论总结动点M在运动过程中满足的几何条件是到定点F的距离和它到定直线L的距离相等。http:/即|MF|=|MC|,即=e=1点M轨迹不是椭圆或双曲线，因为它不符合其定义，它就是我们曾经知道并且从今天开始深入研究的抛物线，这一节我们研究的课题是“抛物线及其标准方程（一）”。二、讲授新课1、抛物线的定义通过前面分析讨论，让学生自行下定义。定义：平面内与一个定F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫抛物线，（其中点F不在直线L上）。2、抛物线标准方程的探究 （1）、回顾坐标法求平面内切点M的轨迹方程的方法步骤。 （2）、引导学生自行建立适当坐标系，求出抛物线的方程。（设定点F到定直
12、线L的距离为常数p）通过练习演板，表达学生的一些不同求法：如：解法一：以L为Y轴，过点F垂直于L的直线为X轴，建点直角坐标系（如图示）则F (P,O)设动点M（X,Y）,由抛物线定义得：，化简得y2=2px-p2 (p0) 解法二：以定点F为原点，过点F 垂直于L的直线为X轴建立如图示坐标系，则F(0,0),L的方程为X=-P,设点M（x,y）,由定义得化简得y2=2px-p2 (p0)解法三：建立直角坐标系X0Y,使X轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，设|KF|=p(p0)，那么F（），准线l方程： ，设点M（x,y）为抛物线上任一点，由定义得：， 化简得：
13、y2=2px(p0)（3）引导学生分析对比可以看出解法三的答案不仅形式较简单而且方程中一次项系数是焦点到准线距离的2倍，我们把这个方程叫做抛物线的标准方程。它表示的抛物线的焦点在x的正半轴上，坐标是（），它的准线方程是，抛物线开口方向向右。（4）引导学生注意观察联想抛物线的不同位置。如焦点可在x轴的负半轴上或y轴的正半轴上或y轴的负半轴上，因此类似于椭圆或双曲线，抛物线标准方程有如下四种形式：图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px (,0) x=- (p0) y2=-2px (-,0) x= (p0)x2=2py (0,) y=-(p0) x2=-2py (0,- ) y= (p0)
14、http:/因此，求抛物线标准方程时，一要确定形式，二要求出参数P.3、 例题研讨例1（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程。（2）已知抛物线的焦点是F（0，-2），求它的标准方程。解（1）因为P=3，所以焦点坐标是（，0），准线方程是x=-(2)因为焦点在y轴的负轴上，并且=2，P=4,所以所求抛物线的标准方程是x2=-8y.例2.根据已知条件分别写出抛物线标准方程。（1） 经过点（2，2）。（2） 焦点在直线x-y+1=0上。解（1）依题意，设标准方程为y2=2px或x2=2py,将（2，2）分别代入都得P=1，故所求标准方程为y2=2x或x2=2y(2)焦点是直线x-y+1=0与坐标轴的交点故焦点F(0,1)或（-1，0）从而标准方程为x2=4y或y2=4x.4、课堂练习（一）（课本练习第3、
