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1、具有自身阻滞作用的食饵捕食者模型简单分析【摘要】种群之间的食饵捕食者模型由于在自然界中由于资源有限和其他作 用，种群自身也会阻滞自身的增长，从而他们构成了自身具有阻滞作用的食饵 捕食者系统。对其进行平衡点的稳定性分析，验证在自然界中的两种种群构成食 饵捕食者系统的相互关系。【关键字】食饵捕食者自身阻滞作用 平衡点 稳定性一、问题重述对于 Volterra 模型，多数食饵捕食者系统观察不到那种周期动荡，而是趋于某种平衡状态，即系统存在稳定的平衡点。在Volterra模型中考虑自身阻滞作 用的 Logistic 项建立具有自身阻滞作用的食饵捕食者模型，并对模型的稳定性 进行分析。二、问题背景和分析
2、自然界中不同种群之间存在着既有依存、又有制约的生存方式：种群甲靠丰 富的自然资源生长，而种群已靠捕食种群甲为生，食用于和鲨鱼、美洲兔和山猫、 落叶松和蚜虫等都是这种生存方式的典型。生态学称甲为食饵（Prey），种群已 为捕食者（Predator），二者构成了食饵一捕食者系统。然而在自然界中由于资源 有限和其他作用，种群自身也会阻滞自身的增长，从而他们构成了自身具有阻滞 作用的食饵捕食者系统。三、模型假设食饵在自然界中生存若没有捕食者情况下独立生存，自身增长符合 Logistic 增长，而捕食者在离开食饵没有其他的食饵，在有食饵的情况自身增长亦符合 Logistic 增长。四、符号说明符号意义t
3、时刻x (t)1食饵在t时刻的数量x (t)2捕食者在t时刻的数量r i食饵的相对增长率r2捕食者的相对增长率N1?食饵的自环境最大容纳量N2捕食者的环境最大容纳里C1食饵受捕食者的影响C2捕食者消耗食饵五、模型建立、求解与分析模型建立当某个自然环境中只有一个种群生存时，可以同Logistic模型(阻滞增长)述 这个种群的演变过程，即：.xX = rX(1-万)对于食饵种群在自然环境中生存时他不受捕食者捕食的增长为：.xX二 f (x)二 rx (1_才)，1 1 1 N1 在有捕食者的情况下食饵还受到捕食者的捕食，故其还受到捕食者的干预从使食饵增长率减 小，在此情况下食饵的增长为：Xi =
4、f (x)=厂iXi(l寺一3影)。12对于捕食者在自然环境中生存没有食饵其死亡导致数量减少，从而为：二 g (x)二 r x (-1 -222在有食饵的情况下，食饵降低了捕食者的死亡率是捕食者的增长模型为：xxg(x) = rx (-1 - + o 严)2 2 N 2 N21得到自身具有阻滞作用的食饵捕食者模型：xi = /(x)=厂ix(l- + -二命)。12.xxx = g(x) = r x (-1 - +o l)22 2 N 2 N21 模型平衡点求解根据以上模型设f (x) = 0和g (x) = 0，解其方程组即可得到平衡点。f(x)= rx (1-器-Q 字)=0ii N i
5、N12xxg (x) = rx2(-1 -寸 + Q 2 才)=02i解得平衡点有：P1 = (0,0)P = (N ,0)P =(N1(Q1+ D, N2(q2 D)1、 21、 31+ Q Q1+ OOi 2i 2模型稳定性分析5.3.1 稳点点求解根据微分方程平衡点的稳定性分析先求出方程的系数矩阵A,其中:x1gx1x2gx2带入f (x)和g (x)得到:rx 一 r QN 111xr Q 22 2 N1-r2x一 r Q -L-1 1 N2-rx一 2 x + r QN 22 2 N将平衡点带入中 计算相应 的21p 和 q，其中 p = 一(f + g )1 、x1x2 Piq =
6、 det(A I ) (i = 1,2,3)，当p 0,q 0时稳定。经计算得到在各个平衡点稳定性如Pi表1表 1 具有自身阻滞作用的食饵捕食者模型的平衡点及稳点性平衡点pq稳定条 件p = (0,0)1一 r + r1 2一 rr1 2不稳定P = (N ,0)2 1r 一 r (q 一 1)1 2 1一rr (q 一 1)1 2 1Q 1212 1 21+ Q Q1 21 1 2 21+ Q Q1 2根据表1,当Q 1时，由于食饵能够2厂 /N Q +1） N Q -1）、为捕食者提供足够的食物，P3 =（石亠一，一-）点稳定，二者共存下去,31+ OO1+ OO1 2 1 2 分别趋向非
7、零的有限值，这也是食饵捕食者保持共存的最大数量。两者不会共 同走向灭绝。5.3.2 相轨线分析设 r = 1.0、r = 1.8、二 0.5 、b = 1.6、 N - 6.0、N = 4.0 得到 f （x）、1 2 1 2 1 2g（x）的图像（图1）和相轨线（图2）。图1 b2 1的f (X)与g(X)的图像图2 b 1的f (x)与g(x)相轨线2由图1可以看出，当b二1.6 1是食饵和捕食者会保持相对稳定并且捕食者不会2趋近 0。设 r = 1.0、r = 1.8、 b = 0.5 、b = 0.8、 N = 1.6、N 1.0 得到 f (x)、1 2 1 2 1 2g(x)的图像
8、(图3)和相轨线(图4)。图3b 2 1的f (x)与g(x)的图像图4 b 1的f (x)与g(x)相轨线2由图3可以看出，当b二0.8 ts=0:50; x0=25 2; t,x=ode45(shier1,ts,x0); plot(t,x) grid;gtext(x(t);gtext(y(t)【 plot(x(:,1),x(:,2);gridfunction x=shier2(t,x)r1=1;r2=;a=;b=;N1=;N2=;x=r1*x(1)*(1-x(1)/N1-a*x(2)/N2);r2*x(2)*(-1+b*x(1)/N1-x(2)/N2);end ts=0:50; x0=25 2; t,x=ode45(shier2,ts,x0); plot(t,x) grid;gtext(x(t);gtext(y(t) plot(x(:,1),x(:,2);grid
