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1、习题二1. 设总体的分布密度为为其样本，求参数的矩估计量和最大似然估计量。现测得样本观测值为，求参数的估计值.解 因为总体的数学期望为 所以得到.因为总体的分布密度为 ,则该总体决定的似然函数为,当时,两边取对数得到,两边对求导得到,令得到.当测得的观测值为时,得到的估计值为, .2. 设总体服从区间上的均匀分布,即,为其样本,求参数的矩估计量和最大似然估计量;现测得一组样本观测值:试分别用矩法和最大死染发求总体均值、总体方差的估计值.解 因为总体的数学期望为，所以得到。因为总体，所以该总体的密度函数为 ，则该总体决定的似然函数为 因为似然方程，显然似然方程关于无解.这时利用似然估计的定义，当
2、时，有则，显然当时，可使似然函数取最大值，因此的最大似然估计.当测得一组样本观测值:时，用矩法得：， ；用最大似然法得：， 。3.设是来自总体的样本，试分别求总体未知参数的矩估计量与最大似然估计量。已知总体的分布密度为解 矩估计法：因为总体的数学期望为，所以，得到.最大似然估计法：因为总体的分布密度为则该总体决定的似然函数为当时，由知，两边取对数得，两边对求导得，令，得到.，其中未知；解 矩估计法：因为总体的数学期望为，所以，得到.最大似然估计法：因为总体的分布密度为，则该总体决定的似然函数为当时，由知，两边取对数得，两边对求导得，令，得到.解 矩估计法：因为总体的数学期望为方差所以 解得.最
3、大似然估计法：因为该总体的密度函数为 则该总体决定的似然函数为 因为似然方程，显然似然方程关于无解.这时利用似然估计的定义，当时，有，则，显然当，时，可使似然函数取最大值，因此的最大似然估计为，.解 矩估计法：因为总体的数学期望为，所以总体的矩估计量不存在。最大似然估计法：因为该总体的密度函数为 则该总体决定的似然函数为 因为似然方程，显然似然方程关于无解.这时利用似然估计的定义，当时，有则，显然当时，可使似然函数取最大值，因此的最大似然估计.解 矩估计法：因为总体的数学期望为方差所以 解得.最大似然估计法：因为该总体的密度函数为 则该总体决定的似然函数为 ,时，知，两边取对数并求偏导得到，显
4、然似然方程关于无解.关于得到.对于利用似然估计的定义，当时，有，而似然方程关递增，故当，时可使似然方程取最大值.因此的最大似然估计为，.解 矩估计法：因为总体的数学期望为方差所以 解得.最大似然估计法：因为该总体的密度函数为 则该总体决定的似然函数为 当，时知，两边取对数并求偏导得到，显然似然方程关于得到.关于无解.对于利用似然估计的定义，当时，有，而似然方程关递减，故当，时可使似然方程取最大值.因此的最大似然估计为，.解 矩估计法：因为总体的数学期望为，所以，得到.最大似然估计法：因为总体的分布密度为则该总体决定的似然函数为当，又知，两边取对数得，两边对求导得，得到.其中解 矩估计法：因为总
5、体的数学期望为，所以，得到.最大似然估计法：因为总体的分布密度为其中则该总体决定的似然函数为，其中当时知，两边取对数得，两边对求导得，令，得到.4.设总体的概率分布或密度函数为，其中参数已知，记，样本来自于总体，则求参数的最大似然估计量.解 根据样本，定义，则样本来自于分布，由最大似然估计的定义知.5.设原件无故障工作时间具有指数分布，取1000个原件工作时间的记录数据，经分组后得到它的频数分布为组中值5152535455565频数365245150100704525如果各组中数据都取为组中值，试用最大似然法求参数的点估计.解 因为总体的分布密度为则该总体决定的似然函数为当时，由知，两边取对数
6、得，两边对求导得，令，得到.而，故.6.已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命（单位：h）为.设总体参数都未知，试用最大似然估计这个星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率.解 因为总体的密度函数为，由似然函数定义 两边取对数，得对参数，分别求导，得到似然方程组解出，所以参数的最大似然估计量为.当样本观测值为时，得到，.7.为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水中大肠杆菌的个数（假定一升水中大肠杆菌个数服从Poisson分布），其化验结果如下大肠杆菌数/0123456升数1720102100试问平均每升水中大肠
7、杆菌个数为多少时，才能使上述情况的概率最大？解 因为总体的分布密度为，则该总体决定的似然函数为当时，由知，两边取对数得，两边对求导得，令，得到.所以.8.设总体，试利用容量为的样本，分别就以下两种情况，求出使的点的最大似然估计量.若时； 若均未知时.解 当时，故得到，由6题知的最大似然估计量为，所以的最大似然估计量为.当均未知时，故得到，由6题知参数的最大似然估计量为.所以的最大似然估计量为.9.设总体具有以下概率分布，01/31/4011/31/40201/41/431/61/41/241/601/4若给定样本观测值：求参数的极大似然估计量.解 定义似然函数，应满足 当样本观测值为时，因此参
8、数的极大似然估计量.10.设总体具有以下概率分布， 求参数的极大似然估计量.解 定义似然函数，应满足，或，取决于样本观测值.11.设是来自总体的样本，设有下述三个统计量， ，指出中哪几个是总体均值的无偏估计量，并指出哪一个方差最小？解 ，所以都是总体均值的无偏估计量，最小故的方差最小。12. 设总体，为其样本，求常数，使为的无偏估计量；求常数，使为的无偏估计量.解 ，所以；当时，则.，从而，所以，所以，则.则，所以时，为的无偏估计量.13.设是来自总体的样本，并且是样本均值和样本方差，试确定常数，使是的无偏估计量.解 ，所以.14.设有二元总体 为其样本，证明：是协方差的无偏估计量.解 因为，
9、所以 .而，所以，所以 ，即是协方差的无偏估计量.15.设总体，样本为，是样本方差，定义，试比较估计量哪一个是参数的无偏估计？哪一个对的均方误差最小？解 ，.，所以，所以是参数的无偏估计，对的均方误差.16.设总体，为样本，试证：与都是参数的无偏估计量，问哪一个较有效？解 ， .，较有效.17.设是的两个独立 无偏估计量，并且的方差是的方差的两倍。试确定常数，使得为的线性最小方差无偏估计量.解 由题意得，.，.，.所以当时，为的线性最小方差无偏估计量.18.设样本来自于总体，且（Poisson分布），求，并求不等式下界，证明估计量是参数的有效估计量.解 ，.因为，所以的分布密度为，其中，根据教
10、材中公式（2.3.2），计算信息量由教材中公式（2.3.3），关于的C-R方差下界为.因为总体的分布密度为，则该总体决定的似然函数为当时，由知，两边取对数得，两边对求导得，因此，估计量，又因为，根据教材中定理2.3.2知是参数的有效估计量.19.设总体具有如下密度函数：，是来自于总体的样本，对可估计函数，求的有效估计量，并确定下界.解 因为总体的分布密度为，则该总体决定的似然函数为当时，由知，两边取对数得，两边对求导得，所以.根据教材中定理2.3.2知是的有效估计量.下界为 .20.设总体服从几何分布：，对可估计函数，则求的有效估计量；求方差和信息量；验证的相合性.解 因为总体的分布密度为则该
11、总体决定的似然函数为，当时，由知，两边取对数得，两边对求导得所以所以为的有效估计量.由知，.，是相合估计量.21.设总体具有如下密度函数：，是来自于总体的样本，是否存在可估计函数以及与之对应的有效估计量？如果存在和，请具体找出，若不存在，请说明为什么.解 因为总体的分布密度为，则该总体决定的似然函数为当时，由知，两边取对数得，两边对求导得所以，又因为所以是的有效估计量.22.设是来自于总体的样本，总体的概率分布为 .求参数的最大似然估计量；试问最大似然估计量是否是有效估计量？如果是，请求出它的方差和信息量；试问是否是相合估计量？解 因为总体的分布密度为，则该总体决定的似然函数为由知，两边取对数
12、得，两边对求导得，令得到.由知，所以是有效估计量.由知，所以.，所以是相合估计量.23.设样本来自总体，并且的区间估计为，问以多大的概率推断参数取值于此区间.解 由题意知，.24.从一批螺钉中随机地取16枚，测得其长度（单位：cm）为，设钉长服从正态分布，在如下两种情况下，试求总体均值的置信度为的置信区间.若已知； 若未知.解 由题可得，.时，故的置信度为的置信区间为.未知时，故的置信度为的置信区间为.25.测量铝的密度16次，测得，试求铝的密度的置信区间为0.95的知心区间（假设绿的密度测量值服从正态分布）.解 由题意得， ，故的置信度为的置信区间为.26.在方差已知的正态总体下，问抽取容量为多大的样本时，才能使总体均值的置信度为的置信区间长度不大于？解 由题意知，得到，即.27.从正态总体中抽取容量为的样本，如果要求其样本均值位于区间内的概率不小于，问样本容量至少应取多大？解 由题意得到，所以，即.28.假设是总体的简单随机样本.已知.求参数的置信度为的置信区间；求的置信度为的置信区间.解 由题意可得，所以参数的置信度为的置信区间为.由得且.，因为是严格递增函数，参数的置信度为的置信区间为，所以的置信度为的置信区间为.29.随机地从批导线中抽取4根，并从批导线中抽取5根，测得其电阻（单位：）为批导线：批导线：
