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1、等差数列与等比数列的性质及其应用文/周小花善于思考 巧用性质例1 (2009年高考宁夏卷)等差数列的前n项和为，已知=38，则m= .解析 本题若用等差数列的通项公式与前n项和公式来求解，采用基本量的方法，解答起来会非常麻烦，也容易陷入泥潭不能得出正确结果.如果我们巧用等差数列的性质来求解，则会事半功倍.由等差数列的性质有.解得(不合题意，故舍去).，2m-1=19，即m=10.小结 等差数列的性质在解题中有着广泛的应用，同学们要学会思考和善于观察，这样就会使问题迎刃而解.等差数列的3个性质：(1)已知m、n、p、q ，若m+n = p+q，则；(2)；(3)中项公式：.横向联系 挖掘性质例2
2、 (2009年高考江苏卷)设是公比为q的等比数列，|q|1，令，若数列有连续四项在集合53，23，19，37，82中，则6q= .解析 本题是一道数列与集合相结合的题目，同学们要注意到数列是按照一定次序排列的，而集合中的元素是无序的.解决本题的关键是学会知识的横向联系，善于探究两个知识点之间的异同，从而找到突破口.据题意可知，数列有连续四项在集合53，23，19，37，82中，这说明数列有连续四项在集合54，24，18，36，81中.由于数列有连续四项，因此其中至少有一项为负.于是可知q0.|q|1，的连续四项为：24，36，54，81.q=.6q=9.小结 等比数列的概念和性质在解决问题时应
3、用非常广泛，深刻理解、灵活运用是解题的关键.有关等比数列的3个结论：(1)(n).(2)(n、t).(3)若q0，则数列的各项同号；若q0，则数列的相邻项异号.类比联想 通用性质例3 (2009年高考浙江卷)设等差数列的前n项和为，则成等差数列.类比以上结论有：设等比数列的前n项的积为，则， ， ，成等比数列.解析 由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列.下面证明该结论的正确性.设等比数列的公比为q，首项为，则，即.故成等比数列.所以本题的答案为.小结 类比思想在解题中
4、的应用能拓宽思维视野，同学们在求解时应注意等差数列与等比数列等差中项与等比中项的类比.等比数列的3个性质：(1)已知m、n、p、q ，若m+n=p+q，则；(2)；(3).综合分析 提炼性质例4 (2009年高考广东卷)已知点(1，)是函数f(x)=(a0且a1)的图像上一点，等比数列的前 n项和为f(n)c，数列(0)的首项为c，且前n项和满足：.(1)求数列和的通项公式；(2)若数列的前n项和为，问满足的最小正整数n是多少？解析 本题通过函数创设情景，感觉新颖，独具特色.本题的实质就是解决等差数列与等比数列的通项公式及求和问题，同学们要善于综合分析，从中提炼出便于使用的等差数列和等比数列的
5、性质，从而将问题顺利解决.(1)f(1)=a=，f(x)=，f(1)c=c，=f(2)cf(1)c=， f(3)c f(2)c=.数列成等比数列，利用等比数列的性质有，c=1，q=(n).，即数列是一个首项为1、公差为1的等差数列. .当n时，；当n=1时，也适合上式，.(2)由已知有=.由，得n.故满足的最小正整数为112.小结 有关数列求和，关于等差数列与等比数列的求和有公式可依，而非等差数列和非等比数列的求和问题，通过裂项也能达到求和的目的.一般地，数列成等差数列，且公差为d，则有.递推思想 变通性质例5 (2009年高考安徽卷)已知数列的前n项和，数列的前n项和.(1)求数列与的通项公
6、式；(2)设，证明：当且仅当时，.解析 (1)本题给出了数列的前n项和，根据等差数列的性质我们不难看出，数列是等差数列.于是我们利用可得，当n=1时，适合上式.综上可知数列的通项公式为.数列给出了递推公式，我们可以利用以下两种方法求出数列的通项公式.(方法一)变化递推公式的下脚标求出通项公式.由得.上述两个式子两边对应相减得.根据等比数列的性质，可知数列是首项为1、公比为的等比数列.所以数列的通项公式为.(方法二)构造等比数列，利用等比数列的性质求出通项公式.对于，由得.于是可知数列是首项为-1、公比为的等比数列.因此有，.综上可知数列的通项公式为.(2)据题意有，当且仅当时， ，即.小结 本题涉及了等差数列、等比数列以及不等式等有关知识，考查了数列的通项公式与数列的前n项和之间的关系，通过抽象概括提炼出等差数列与等比数列的性质，进而求出通项公式.
