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1、1当滾e (0, +oo)时，有n(x + l)x2x3对任意正整数，取x =w(0,+s),则有 HIn( +1) -n ir11 1f,1111即/(-)y/(-)0),依题意得：竺对xG1, +oo)恒成立:.ax-l0对圧1,+8)恒成立 At/-l0 即：al (2) V/=1由(1)知：/(x)=匕 +加x在1, +00)上为增函数,x即：丄(1) = 0n 一 1“一 1；2-1 n?j-l.1111,23|2 3 4n12/-I设 g (x) =lnxxxG 1+),则 gf(x)= 1 0对XV 1,+s)恒成立，Ag z (x)在1+8)为减函数xn22 时：g ( ) =
2、ln g (1) = 10 即：Inv =1+ (n2)戸一 1一 1 /J-In -1-1一 1 In+ ln 二+ ln- + +ln 0时,令/) = 0, 亠=丄w(0,+s),广(x)、/(x)随X的变化情况如下表：PX(0,丄)p1p(,+) p广(X)+0fM递增极大值递减从上表可以看岀，当“ 0, f(x)有唯一的极大值点x =丄P(2)当p0, /(X)在x =丄处，取得极大值/(-) = In丄，此极大值也是最大值.要使f(x) W0恒成立，只PP P需/(丄)=In丄W0 p 1, Ap的取值范围是山+s)P P令 /? = 1,由知：lnx-x + l WO, In W
3、x l J nN、/? 2, A nn2n2 -1,.ln/r 一沪一1 11 In 22 ln32 In n2111ir ir ir 2-3-fC23-rr=(/I 1) (+ 7 + + ) 0得丄 W 因为兀0,所以也S1XX当k0时，xS丄，所以函数/(X)的单调递增区间为(0,丄)单调递减区是为-,+oo)kk当k=0时，不等式恒成立，所以函数/(x)是单调递增区间为(0, +00 )当k0,所以不等式恒成立，所以函数/(x)是单调递增区间为(0, +00)综上所述，当k0时.函数/(x)的单调递增区间为(0,丄)，单调递减区间为丄，+8);当kWO时， kk函数/(x)的单调递增区
4、间为(0, +oc) o(2) 由(1)知kWO时，函数/(%)是增函数，而/ (1) = 1一0,不成立，所以k0,由(1)可得/(X)max=lnk，要使/(X)SO 恒成立，只需 /(x)max 0 ,所以 hl 0 所以 kl(3) 用(2)可得当k=l时，lnxx-1在(0, +8)上恒成立。In21： ln3W2； In43：:ln(n + l)n；以上各式左右两边分别相加得In 2 + ln3 + ln4 + + ln(n + l)1+2+3+n= y/. In 2-3-4 -(77 + 1) ( + /. ln2-3-4 - (/? + l)2 (l-h)x2 +cx + a
5、= O(b 1)bx - c弓2+7.a = 0,.1 c : f(x)=2(1 + )x-c2F: /W = (XH1)2(x 1)-2 1由 /(-2)=lvcv3又 J c = 2、b = 21+c2于是广(X)= 2x2；;二仁2 =二第 由f(x) 0得x V o或X 2 ：lx 力=0 于是 In / 1 -1 即 m x+1 tX所以，丄v丄，即一丄ln 殍 +1n n(3)由(2)可知仇=丄则丁 =1 +丄+丄+n23各式相加得丄+丄+丄in? + ln2 + 232016126解：(I ) fx) = 一2x-1*0 时，几v)取得极值 0, x + a2时，2S”“6/,_
6、,2两式相减得(”一“ +1) = 0/ an =或 d”-d=-l 当 “时，2q =4 - J =4 =一1,若则。2=1 这与 4?工1 矛4严F 于是，待证不等式即为ln lo为此，我们考虑证明不等式/J+1 n nln 0令 1 + - = r,x 0,则/1, x = 再令 g(f) = /-l-ln/, g(f) = l-1 由 r e(l,+oo) x+1 x xxr-1t1 x + 1知 g(/)0.当fw(l,+s)时，g(/)单调递增 g(f) g(l) = o F 是即一ln,x0XX令(f)=in/i+l, /(r)= l-L=iz! 由re(i,+oo)知/ra)o
7、.当虫(1,+=)时，/?()单调递增 tt r t丄0可知丄0 X+ 1JV+ 1X X1 -+ 丄在v丄中令=1,2,3,2015,并将 + 】n 泌 1 +丄+.+工即為 6一1山2016 0,卩=-In 2-/77 0,A -1 - In 2 w -l),由(I )知 f(x)=A(2x + 3).2(x + 1)当JavO时，/DvO,几r)单调递减；当QO时，/JvO, 7U)单调递增/(O)为九)在(丄+oo)上的最 小值/&) /(0),又/(0) = 0故W+x ln(x+l)(当且仅当*0时，等号成立). 对任意正整数，取a-= - 0得， 11 1n递减;当xG(l, 2
8、)时，(pf(x) 0,于是 能)在(1, 2)上单调递增.依题意有 ln( +l)=ln(n+l)-lnn , 而 ir nn! (n 1) /.! + ln(/z +1) - In n , 即 ln(z? + 1)- In n77(n-l) trn(n-l) nn-l故 1+丄+丄+ + !(ln3In2) + (ln4ln3) + ln(n+l)-lnn lln(n + l)-ln2 = ln-i-2 3n-1l27.解：(1)依题意得g (x) =Inx+ax2+bx,则才(x) =-+2ax+b由函数g (x)的图象在点(1, g (D)处的切线平行于x轴得：g (1) =l+2a+
9、b=0, /.b=-2a- 1. (2)由(1) 得/ (x)二 2a/- (：+1)时1= (2“一1 3一1),.函数 &(X)的定义域为(0, +8), 函疥g(X)在(0, 1)上单调递增，在(1, +-)单调递减：当a0时，令g2 2232 n2I2 2232 n2 (x) =0得x=l或ghL 若丄0得xl或0x2a 2a2a由g(x) VO得丄xb 即00 得X丄或 OVxVl,由 g (x) V0 得 1X0,即函数g (x)在(0, +8)上单调递增， 综上得：当葩o时，函数g(X)在(O, 1)上单调递增，在(1, +-)单调递减；当0CY丄时，函数g2(X)在(0, 1)
10、单调递增，在(1,丄)单调递减：在丄，+co)上单调递增；当a二丄时，函数g(x) 2a%9在(0, +-)上单调递增，当al时，函数g (x)在(Q, -X)上单调递增，在(占，1)单调递减: 在(1, +8 )上单调递增.22323(3)证法一：由(2)知当 a=l 时，函数 g (x) =lnx+x3x 在(1, +)单调递增 lnx+x2 - 3xg (1) =-即 lnx - x2+3x 2=(x - 1) (x - 2), 令x二 1+丄，n N* 则In (1+丄)2-寺,nn n nIn (1+g) +ln (1+g) +ln (1+g) +-+ln1+丄)一一-+当 一-+丄一岂，123n 1222 332 n n2In (fx 弓 乂学X凹)KPln (1+n) 咛.123 n3-i-i证法二构造数列an,使其前n项和Tn=ln( 1+n),则当n2Ihf, a二丁 - T -产】口(丄也)=ln (1+丄)，n n n 1nn显然aI=ln2也满足该式，x0,故只需证In (
