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1、第八讲 枚举法枚举法是将问题所涉及的所有情况全部列举出来，一一加以讨论，从而解决问题的一种 方法。当问题出现的情况是有限种，而且这些情况又无法统一处理时，就可以用枚举法来解 决。例1设n=200X209X218XX2000,那么n的末尾有多少个连续的0?（北京市“迎 春杯”数学竞赛题）2000 - 200解：在200,209,218,，2000中，5的倍数有门=+1=41（个）；25的倍数有9 x 52000 - 200 2000 - 200+ 1=9（个）；125的倍数有+1=2（个）。于是，在n的质因数分解9 x 5 x 59 x 5 x 5 x 5式中，便有41 + 9+2=52（个）5
2、。而在n的质因数分解式中2的个数显然多于5的个数，因 此，n的末尾有52个连续的00例2在射击运动中，每射一箭得到的的环数或者是0”，或者是不超过10的自然数。 甲、乙两名运动员各射了 5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙 少4环。求甲、乙的总环数。（“华杯赛”试题）解：因为每箭射中的环数都是1764的因子，而1764=2X2X3X3X7X7，并且环数是 不超过10的自然数，所以必有两箭是7环，其它3箭的环数是2X2X3X3的因子。因此， 两人射箭的环数有5种可能：7, 7，1, 4，9,和是 28；7, 7，1, 6，6,和是 27；7, 7，2, 2，9,和是 27
3、；7, 7，2, 3，6,和是 25；7, 7, 3, 3, 4,和是 24o因为甲的环数比乙少4,所以甲的总环数是24,乙的总环数是28o例3有三个棱长分别是3cm、4cm、5cm的相同的长方体，把它们的某些面染上红色, 使得有1个长方体只有一个面是红色的，有1个长方体恰有两个面是红色的，有1个长方体 恰有三个面是红色的。染色后把所有的长方体分割成棱长为1cm的小正方体，分割完毕后, 恰有一面是红色的小正方体最少有多少个？（日本小学数学奥林匹克竞赛题）解：一个面染红的长方体，显然应将3X4的面染成红色，这时产生12个一面红的小正 方体，个数最少。两个面染红的长方体，应将3X4、3X5两个长方
4、形染红，产生3X（4-1） + 3X（5-1） = 21（个）一面红的小正方体，其它染法产生的一面红的小正方体均超过21个。三个面染红的长方体，应将有一个公共顶点的三个面染红，这时产生（3 1）X（41） + （4-1）X（5-1） + （5-1）X（3-1） = 26（个）一面红的小正方体，其它染法产生的一面红的小正 方体均超过26个。所以，一面红的小正方体最少有12+21 + 26=59（个）。例4设a与b是两个不相同的自然数，如果它们的最小公倍数是72,那么a与b之和可以有多少种不同的值？（北京市“迎春杯”数学竞赛题）解：a 与 b 的最小公倍数 72=2X2X2X3X3,有 12 个约
5、数：1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72。不妨设 ab。（1）当a=72时，b可取小于72的11种约数，a+b的值为73、74、75、76、78、80、 81、84、90、96、108,共 11 个；当a=36时，b必须取8或24, a+b的值为44或60,共2个；当a=24时，b必须取9或18, a+b的值为33或42,共2个；当a=18时，b必须取8, a+b的值只有1个26；（5）当a=12时，b无解；当a=9时，b必须取8, a+b的值只有1个17。所以a+b可以有11 + 2+2+1 + 1 = 17种不同的值。练习八1. 连乘积11X12X
6、13XX54X55X56的末尾共有多少个连续的0?（南京市“兴趣杯” 数学竞赛题）2. 一本书有500页，编上页码1, 2, 3,。问数字1在页码中出现多少次？（美国长 岛小学数学奥林匹克竞赛题）3. 如图，24块边长为10cm的正方体瓷砖，排成如下黑白相间的长方形。一只蚂蚁沿 着瓷砖的边爬行，爬行中它的左边总有一块黑的瓷砖。这只蚂蚁从左上角到右下角，至少爬 了多少厘米？（南京市“兴趣杯”数学竞赛题）4. 用1, 2, 3, 4, 5, 6, 7七个数字组成两个三位数和一个一位数（其中一个已知是 714），使得这三个数中任意两个都互质，（“华杯赛”试题）5. 三年级小朋友做投球游戏，把红、黄两
7、种颜色的球投到5m外的小铁筐里，每投进 一个红球得7分，投进一个黄球得5分。马小勤一共得了 58分，他投进了几个红球？（北京 市“迎春杯”数学竞赛题）6. 有一类小于200的自然数，每一个数的数字和是奇数，而且都是两个两位数的乘积 （例如：144=12X12）,那么，在这一类自然数中，第三大的数是多少？（小学数学奥林匹克 竞赛题）7. 如果给一本百科全书编上页码需要6869个数字。那么，这部书共有多少页？（北京 市“迎春杯”数学竞赛题）8. 用1角、2角和5角三种人民币（每一种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种不同 的方法？（南京市“兴趣杯”数学竞赛题）9. 在五位数中，是9876的倍数并且各位数字的和等于24的有多少？（南京市“兴趣杯” 数学竞赛题）10. 个整数乘以13后，乘积的最后三位数是123，那么这样的整数中最小的是多 少？（小学数学奥林匹克竞赛题）11. 方格纸上有一只小虫，从直线AB上的一点O,沿方格纸上的横线或竖线爬行。 方格纸上每小段的长为1cm。小虫爬过若干小段后仍然在直线AB上，但不一定回到O点。 如果小虫一共爬过2cm,那么小虫爬行路线有多少种？如果小虫一共爬过3cm,那么小虫爬 行的路线有多少种？（小学生数学报数学竞赛题）12. 下面5张卡片上分别写有数字:可以用它们组成许多不同的五位数。求所有这些五位数的平均数。（北京市第“迎春杯” 数学竞赛题）
