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1、这就是刚体平面运动的运动学方程。图(1)刚体的平面运动摘要：本论文主要从刚体的平面运动的运动学和动力学进行研究说明，同时捎带提了一 下能量的问题。在运动学方面，分位移（空间位置），速度，加速度进行讲述，其中以相对 基点速度，加速度的推导为重点。在动力学中讲述里刚体平面运动的动力学方程，同时为了 简化刚体平面运动的分析，引入力偶和力偶矩的概念。然后是简洁的给出了刚体平面运动的 动能表达式和动能定理。接着本论文以滚子的滚动这一简单的刚体平面运动形式给出了实例的运用“。滚动动摩擦 力偶矩”，“汽车运动时轮的受力和汽车的极限速度”（驱动力的产生）这都是比较接近现实 生活的。虽然本文在这两方面的论述比较
2、粗糙，但就分析刚体的平面运动和理解滚动摩擦却 是很有意义的。虽然能量不是本文的重点，但作者认为这却是很重要的思想方法，是一种物 理修养。所以在实例分析中给出力一道常见的大学物理题的分析讨论。相信这一似乎离题的 讨论能给我们一些启示。正文平面平行运动是指刚体在运动时，其上各点离某固定平面的距离始终保持不变。 也就是说，刚体内任一点始终在与固定平面平行的某一平面内运动。 取刚体内一点 A 作为基点，设过 A 点且平行于刚体运功的平面的平面截刚体为S（如图1）。在S内作射线AB （如图2）。刚体内各点相对射线AB的位置是固定 的，只需确定AB就可以确定刚体内所有的点。AB可由A地坐标（Xa,yA）及
3、AB 与x轴的夹角9来确定。1. 位移 当S运动时Xa，yA，9时t的单值连续函数（一）刚体平面运动方程rA = fi（t f2（t）9 =厶 （1）rA = fi(t f2(t AO质点运动方程申二f (t) O刚体绕定轴转动的运动学方程 从而得刚体的平面运动可分解为随基点 A 的移动 和绕 A 的转动。说明：转角申与基点地选择无关x2图(3)如图，AB是S中任意一直线，在A,B分别建立移动的坐标系Ax1，yi和Bx1，yi， 当S运动时AB与两移动坐标系的夹角是相同的，可以推断：在同一瞬时，图形 绕任一基点的转动不但转角是相同的，而且角速度，角加速度也各相同。2. 速度S内任意二点A,B。
4、设A为基点rB = rA + rAB两边同时对t求导dr dr drB = A + ABdt dt dt 其中drd (r x e )厂- -a =ab r = r U e = r k x e = 3 x rdtdtAB UrAB所以 VB = VA +3X rAB（2）B 点的速度为基点 A 的速度和 B 相对 A 的速度两矢量和。3. 加速度rB = rA + rAB两边同时对t求二阶导d2rd 2rd2rB = A +AB-dt2 dt2 dt 2-d Uea = a + r其中B B AB dtdUedU k dex-u =e +U4=Ue -U2edt dt U dtUra = a
5、+ r Ue - r U 2 e所以 BB AB U AB r (3)B 点的加速度为基点 A 的加速度和 B 相对 A 转动的切向加速度和法向加速度的矢 量和。二）刚体平面运动的动力学1. 动力学方程 如图（4）,在O系中对刚体应用质心运动定理 工F = ma /八工 F = maiy cyi c （4）得投影式Y Fix = macx在从C系研究刚体绕z轴的角动量Y-Miz外表示作用于各质点诸力对C点外力矩的矢量和。此外所有质点受惯性力叭再考虑到诸质点所受惯性力矩工M ,iz外+ 工 r rx (-ma )=icdLdt其中惯性力矩可写为工 rx（-ma）二一icyr x mimxay r
6、 xmi右方的 m 为质心系中质心的位置矢量,当然为零。所以yMiz 外dLdt运用于刚体，刚体对Z轴角动量对时间的变化率即Iz a Z所以y M 二 I a fiz 外z z (5) 即作用于刚体各力对质心 z 轴的合力矩等于刚体对该轴的转动惯量与刚体角加 速度的乘积，叫做刚体对质心的转动定理。 （4）（5）两式合起来给出了刚体平面运动的基本动力学方程。刚体的力学特征根据（4）式作用于刚体上的力使质心加速运动，根据（5）式它对质心轴的力矩 使刚体产生角加速度。因此作用与刚体的力有两种力学效应。从而在分析刚体的 平面运动时可以从等效出力的这两种效果出发使问题变得清晰简单。2. 力偶和力偶矩大小
7、相等方向相反彼此平行的一对力叫力偶。 因其矢量和为零，故对质心运动无影响。二 力对质心轴力矩之和为-_-FM = r x FBA图（5）力矩大小等于力偶中一力与力偶臂乘积而方 向与力偶中而力成右受螺旋者称作该力偶的 力偶矩。因此我们可以用力偶矩来表示刚体 收到的转动作用，而不对质心产生影响。考虑到作用于刚体的力的两种效果和力偶矩的概念，如图（5），作用于刚体的力等效于 一作用线通过质心的力和一力偶矩，这力的大小和方向与原力相同，而力偶矩等 于原力对质心轴的力矩。三）刚体平面运动的动能按克尼希定理式m v v 2ii可得刚体平面运动动能等于随质心平动动能和刚体相对质心系的动能的和根据质点系动能定
8、理，质点系动能增量等于一切内力和外力做功的代数和。对刚 体来说，内力做功的代数和为零，故对于刚体的平面运动，动能定理为工 A = Amv 2 + I 2）2 C 2 C实例分析 在水平面上滚动的圆柱形的滚子的运动是典型和常见的刚体平面运动的实例，但 同时却有重要意义。1.滚动摩擦力偶矩滚动体放在支持面上，滚动体和支持面都会发生形变。当滚动体静止时形变对称 如图（6），当滚动体滚动时，如图（7），后边的形变略低于前方，前面的支撑面凸起，形变不对称，支撑面对滚动体的作用力前移，作用力为FN，力Fn分解为竖直分力Fn和水平分力Fn，Fn近似与公切面垂直可看做弹性支持力；力Fn近似与公切面平行，可看做
9、静摩擦力。它们的效果为作用于O的力Fn和附加力偶 矩。附加力偶矩起阻碍滚动体滚动的作用，称滚动摩擦力偶矩，大小记作M滚用5表示原来力Fn与O的垂直距离，则5NOF图（7）可见滚动摩擦力偶矩与滚动体和支撑面间的正压力成正比，比例系数5 为滚动摩擦因数，它有长度的量纲。取=5 /r，r表示滚动体滚过时的曲率半径，卩称作滚动阻力因数。它与滚动快慢，轮与支撑面材料和形变程度均有关，表（1） 列出了常见汽车轮在几种典型路面上的值表（1）路面类型良好的沥青或混凝土路面0.0100.018一般的沥青或混凝土路面0.0180.020坑洼的卵石路面0.0350.050泥泞土路（雨季或解冻）0.1000.250结
10、冰路面0.0100.030数据选自于志生主编汽车理论我们常说，滚动摩擦比滑动摩擦小。其实它们一是力偶矩一各是力，不好直接比较。但可在另一意义下比较。如图（9）表示沿水平方向用力 F 拉滚子，当作用与转轴时55,F = F = F = W =Wf r N r 当力作用于滚子的边缘如（10） 若速度不变，则F = F = pWN图（9）图（10）F和F都是力。因为p 卩，因而FF，即因一般来说滚动阻力因数比滑动摩擦因数小，使滚子滚动比令它平移省力。2.汽车运动时轮的受力和汽车的极限速度汽车有驱动轮和被动轮。前者受力的驱动，后者起支持作用并跟着转动。卡车驱动轮在后，小座车驱动轮在前，越野车前后轮均为
11、驱动轮。如图（），滚子相当于被动轮，按力矩平衡条件得出静摩擦力为55,F = F = W = pWf r n r斗极小，Ff也较小。如图（）一半径为r的驱动轮的F 受力情况，车身对轴作用着向下的压力FNWFA N 2If NM滚bCwW及向后的阻力F。设轮匀速滚动，对质心轴有图（10）二(M -M )/r驱滚我们把必驱/r成为汽车的牵引力。由次可知汽车的驱动力来自驱动轮所受的向前 的静摩擦力。F = 1C p Sv 2 汽车行驶时所受空气阻力可表示为 f 2 D ，S 和 v 各表示汽车的横街面积和速率，P为空气密度，CD称为空气阻力系数。已知桑塔纳汽车横街面积为1.89m2，空气阻力系数为0
12、.425,发动机功率60kW, 内部传动机械能损失10%,空气密度为1.225 N - s2/m4。现研究该车沿水平路面 行驶的最大速度。取汽车发动机燃烧物以外的整体汽车为质点系。设车匀速行驶则工 A +S A = 0外内y yy y _分别用 外和 p表示外，内力功率之和，有 匚卜+厶绪_0。前者含发 动机燃烧生成的功率卩发_ 60kW，滚动摩擦力偶矩的功率和空气阻力功率7阻 产/叫。内力中各阻力之负功使能量损失10%,余下卩P发_ 0.9x 60kW。 略去滚动摩擦的功，有yP -1C pSv 3 _ 0发2 D max得 v _ (2yP / C pS)1/3max发 D代入数据得 v沁
13、1.7 x 102 km/hmax即每小时170km。如考虑滚动摩擦，车速将小于次值。车速和发动机转速及传动比均有关，发动机的功率和发动机转速也有关系，这是 需要在技术上研究的。本讨论的估算是有意义的，它给出了汽车运动中能量分配 的基本概念，在设计上有参考价值。3. 刚体平面运动的动能运用 在不考虑滚动摩擦时证明下图系统微小的位移后是简谐振动 各物理量为在图()上标的值用能量的方法：根据公式（2） VB = VA +亦X S求得各点速度关系再根据能量守恒得Mv 2 + k x 2 + k x 2 + I2 2 1 2 2 2 1上式对x求导得(v )21r v)21r v)21r v)+ 一I+ m+ 一mI 2 R丿22I 2 R丿2 iI 2丿22I 2丿2=CMxx + (k + k ) xx + (+124 R 2 4 R 2I I mMx + (k + k )x + (i +2 +124 R 2 4 R 24I I m m(+ + i +2 + M) x + (k4 R 2 4 R 244i所以是简谐振动+ 牛 + 牛)x x = 0 i + 牛)x = 0同时也可以用受力分析的方法av = 2v n a - 板00f + f =ma1 1 1 0(f - f) R = I1 1 1a-0-RJf + f = ma2 2 2 0JJ(f2- f2)
