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1、1矩阵的相似1.1定义 1.2性质1.3定理(证明)1.4相似矩阵与若尔当标准形2相似的条件3相似矩阵的应用(相似矩阵与特征矩阵相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵在微分方程中的应用【1】)矩阵的相似及其应用1.1矩阵的相似定义1.1:设A,B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域 P上的n级 可逆矩阵X，使得B=XaAX，就说A相似于B记作AsB1.2 相似的性质(1) 反身性AsA :;这是因为A = EAE.(2) 对称性：如果AsB，那么BsA;如果AsB,那么有X，使B = XAX , 令丫二X，就有A二XBX，二YBY，所以BsA。(3) 传递性：如果 AsB，BsC，那么AsC。已知
2、有X,Y使BXAX， C =YBY。令 Z 二 XY，就有 C 二 YXAXY 二 ZAZ，因此，As C。1.3相似矩阵的性质若 A,B Cn n，AsB，贝U:(1) r(A)才(B);引理：A是一个s n矩阵，如果P是一个s s可逆矩阵，Q是n n可逆矩阵，那么秩(A)=秩(PA)=秩(AQ )证明：设A, B相似，即存在数域 P上的可逆矩阵C，使得B二CAC ,由引理2可知，秩(B )=秩(B 二 CAC )=秩(AC )=秩(A)(2 )设A相似于B， f(x)是任意多项式，贝U f (A)相似于f(B)，即PAP =B = Pf (A)P = f (B)证明：设 f(x)二anxn
3、 an4xn4 |l|a1x a0于是，f(A)=anAn an4AnJ1 |lla1A aEf(B)二anBn玄沾心|1心僅aE由于A相似于B，贝U Ak相似与Bk，( k为任意正整数)，即存在可逆矩阵X ,使得BX 丄AkX ,因此 X Jf A X = XJ anAnanJAnJ (la.A a0E X1 n1 n 11= anX A X anX 一A _X 川 a1X AXa0E=anBn - anBn 11(aB - a0E二 f(B) 所以f (A)相似于f (B)。(3) 相似矩阵有相同的行列式，即 A=|B,trA=trB ;证明：设A与B相似，即存在数域 P上的可逆矩阵C ,
4、使得B = CAC，两边取行列式 得：B| = CAC = CHAC = A CC = A，从而相似矩阵有相同的行列式。又由性质(2)知，A与 B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值、，匕川,n，而A 的迹 trA =、r2 11( n，B 的迹 trB =、丁 /2- n，从而 trA 二 trB，即相似矩阵有相同的迹(4) A与B有相同的Jordan标准形；(5) 相似矩阵同时可逆或同时不可逆。证明：设A与B相似，由性质2可知A =|B，若A可逆，即 A式0，从而B式0，故B 可逆；若 A不可逆，即 A=0,从而B =0,故B不可逆。若a与B相似，B与D相似，则0 ；与0 D,i相似。证
5、明：A与B相似，即存在可逆矩阵P ,使得B = PAP , C与D相似，即存在可逆矩阵Q ,B 使得D =QCQ，由于000 丫卩 0、qTi。ca.0 QjP 0 ”-4A 0 =P 0 A|Q0显然 P 0是可逆矩阵。由此可见，则0 Q丿F 0计0 相以。0 C丿10 D丿定理1.1：线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵 相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。证明：先证前一部分。设线性空间 V中线性变换A在两组基:1, ；2川 I，；n( 1)1, 2,山，n (2)下的矩阵分别为A和B,从基到基的过渡矩阵为 X，贝（A 1, A ；2,丨1（
6、, A；n）=（仆；2,.丨1（, ；n）A ,（A 1,A 2, MA n） =（ 1,2 川 I, n）B（1,2,Z n） =（ ；1, ；2,川），；n）X于 是（A 1,A 2,MA n） =A（ 1, 2,川，n） 二 A（ ；1, ； 2,川，；n）X= （Ai,A；2川 |, AJX =（ i, ；2,川,；n）AX = （ 1, 2,山，n）X AX由此可得B=XAX现在证后一部分。设n级矩阵A和B相似，那么它们可以看作是n维线性空间v中一个线性变换 在基；仆；2,山,；n下的矩阵。因为B二X AX，令：（1, 2,山，n） 5, ；2,川,.护,显然，1, 2，川n也是一组
7、基，A在这组基下的矩阵乜1与i2+hin丿n相似，其中i1,i2l（,in就是B o例一：证明A( 1, ；2,川；n) = (；1, ；2,川；n)1,2,|l, n的一个排列。%丸2川 2(,i2* JJin ?，因为2*九n1,-2,n和证 明： 设A（ 1 ；,山；n,=i1i 2定理2.1 :设代B是数域P上的两个n级矩阵，A与B相似的充要条件是它们的特征矩阵是线性变换A在不同基下的矩阵，故它们相似。E - A 和匚 E - B 等价。例一：设ca、cabcab，B =abcabclbc，证明A与B相似。a,b,c是实数，A =证明:广丸- b-c-a -a-bX-c空c_a-b k
8、E -A=-c人aT-c九a-bT-b_c九a a-b丸_ c申-b-ca丿2 ）1 H（丸一打）=g （九卜但dn （九）就 是丸E A 的最小多项式，所以g A. = dn Ai； = O。反之，若g A;=0，则A的最 小多项式dn 整除g，因而dn，没有重根，故A与对角矩阵相似。广1-3-广例7:设A = 2 10，试证明：（1）A在复数域上可对角化；（2）A在有理数域上不可对角化。证明： f （丸）=E A =入3 3入2+12扎一8 ,（人）=3九26扎+ 12 ,用辗转相除法可证得 f，,f=1，故在复数域上A相似于对角矩阵。（2）若A在有理数域上可对角化，那么 A的特征值必须都是有理数，从 而f 有有理根，而f 的首项系数为1,从而f 的有理根必为整数根。 由于f 的常数项为-8,如果f 有整数根必为_1,_2,_4,_8，用综合除法验 算它们都不是f 的根，因此f 无有理根，从而得证A在有理数域上不可对 角化。0注：两个矩阵是否相似同数域的大小无关,（即与一个对角矩阵相似）却同数域的大小有关,但是，一个矩阵是否可对角化*0例如，二阶方阵A二实数域上不可对角化，但在复数域上却可以对角化,1 02 -i相似，事实上，取P二1 1i i因为此时它与对角矩阵，即有 PAP 二 B。
