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1、湖南省2015届高三 十三校联考 第二次考试数学（文）时量：120分钟，满分：150分麓山国际 联合命题由 长郡中学 衡阳八中 永州四中 岳阳县一中 湘潭县一中 湘西州民中 石门一中 澧县一中 郴州一中 益阳市一中 桃源县一中 株洲市二中 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合，则=（ ）CABC D2不等式成立是不等式成立的（ ）AA充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D非充分非必要条件3为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观样本容量1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在6
2、,14)内的频数为（ ）BA780 B 680 C 648 D 4604输入时，运行如图所示的程序，输出的值为（ ）CA4 B5 C7 D95已知，则的最小值为（ ）D AB C D66下列函数中，在上为增函数的是（ ）BA B C D7某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）DA BCD8已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则（ ）A A6B3CD9称为两个向量、间的“距离”若向量、满足:；对任意的，恒有，则（ ）CA B C D10已知函数，若对，都有，则实数的最大值为（ ）BA B C D 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共
3、25分把答案填在答题卡中对应题号的横线上11已知复数（其中是虚数单位），则 12若直线的参数方程为，则直线的斜率为 13函数存在与直线平行的切线，则实数a的取值范围为 14在区间和分别取一个数,记为, 则方程表示离心率大于的双曲线的概率为 15在锐角中，则边的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16、（本小题满分12分）编号分别为A1，A2，A16的16名校篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分172625
4、3322123138（1）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：区间10,20)20,30)30,40人数（2）从得分在区间20,30)内的运动员中随机抽取2人，用运动员编号列出所有可能的抽取结果；求这2人得分之和大于50的概率解：（1）4，6，6；4分（2）得分在区间20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13。从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：A3，A4，A3，A5，A3，A10，A3，A11，A3，A13，A4，A5，A4，A10，A4，A11，A4，A13，A5，A10，A5，A11，A5，A13，A10，A11，A10，A13，A11，A13，共15种
5、；8分“从得分在区间20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有：A4，A5，A4，A10，A4，A11，A5，A10，A10，A11，共5种；所以P(B)12分17、（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的侧棱底面，且底面是直角梯形，点在侧棱上（1）求证：平面；（2）若侧棱与底面所成角的正切值为，点为侧棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值证明（1）由已知可算得，故，又，平面，故，又，所以平面；6分解（2）如图，取PD中点为N，并连结AN，MN，易证明，则即异面直线与所成角；又底面，即为与底面所成角，即，即，易求得，则在中，即异面直线与所成角的余弦
6、值为12分18、（本小题满分12分）已知正项数列的首项，前项和满足（1）求证：为等差数列，并求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围解（1）当时，即，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故，故（），当时也成立；因此6分（2），又，解得或，即所求实数的取值范围为或12分19、（本小题满分13分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12将矩形纸片在右下角折起，使得该角的顶点落在矩形有左边上，设，那么的长度取决于角的大小（1）写出用表示的函数关系式，并给出定义域；（2）求的最小值解（1）由已知及对称性知，又，又由得，即所求函数关系式为，4分由得
7、，又显然，即函数定义域为7分（2）， 令（），利用导数求得，当时，所以的最小值为13分20、（本小题满分13分）如图，椭圆的离心率为，、分别为其短轴的一个端点和左焦点，且（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点为，过定点的直线与椭圆C交于不同的两点，直线，交于点，证明点在一条定直线上解（1）由已知，且，因此椭圆C的方程4分（2）由题意，设直线：，联立得，则，8分设直线：，：，联立两直线方程，消去得 10分又，并不妨设，在x轴上方，则，代入中，并整理得：将代入，并化简得，解得，因此直线，交于点在定直线上13分21、（本小题满分13分）设知函数（是自然对数的底数）（1）若函数在定义域上不单
8、调，求的取值范围；（2）设函数的两个极值点为和，记过点，的直线的斜率为，是否存在，使得？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由解（1）的定义域为，并求导， 令，其判别式，由已知必有，即或； 当时，的对称轴且，则当时， 即，故在上单调递减，不合题意；当时，的对称轴且，则方程有两个不等和，且， 当，时，；当时， 即在，上单调递减；在上单调递增；综上可知，的取值范围为； 6分（2）假设存在满足条件的，由（1）知 因为，所以，若，则，由（1）知，不妨设且有，则得，即 （*）设，并记，则由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，且，又，所以当时，；当时，由方程（*）知，故有，又由（1）知，知（在上单调递增），又，因此的取值集合是13分
