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1、第四章习题答案1 现有1000 元贷款计划在5 年内按季度偿还。已知季换算名利率6%，计算第2年底的未结贷款余额。解： 设每个季度还款额是R ，有Ra(4)5p6% = 1000解得R ，代入B2 的表达式B2 = Ra(4)3p6%= 635.32 元2 设有10000 元贷款，每年底还款2000 元，已知年利率12% ，计算借款人的还款总额等于原贷款额时的未结贷款余额。解：n =100002000= 5B5 = 10000 (1 + i)n 2000snp12% = 4917.72 元3 某贷款在每季度末偿还1500 元，季换算名利率10% ，如果已知第一年底的未结贷款余额为12000 元
2、，计算最初的贷款额。解： 以季度为时间单位，i = 2.5% 。B0 = B1 v + 1500a4pi = 16514.4 元4 某贷款将在15 年内分期偿还。前5 年每年底还4000 元，第二个5 年每年底还3000 元，最后5 年每年底还2000 元。计算第二次3000 元还款后的未结贷款余额的表达式。解： 对现金流重新划分，有B7 = 2000a8p + 1000a3p北京大学数学科学学院金融数学系第1 页版权所有，翻版必究5 某贷款将以半年一次的年金方式在3 年半内偿还，半年名利率8% 。如果已知第4 次还款后的未结贷款余额为5000 元，计算原始贷款金额。解： 设原始贷款额为L ，
3、每次还款为R ，以半年为时间单位，有5000 = Ra3p4% L = Ra7p4% 整理得：L = 5000 a7pa3p= 10814.16 元6 现有20000 元贷款将在12 年内每年底分期偿还。若(1+i)4 = 2 ，计算第4 次还款后的未结贷款余额。解： 设第4 次还款后的未结贷款余额为L ，每次还款为R ，有20000 = R a12pi L = R a8pi 把(1 + i)4 = 2 代入整理得：L = 5000 1 (1 + i)81 (1 + i)12= 17142.86 元7 20000 元抵押贷款将在20 年内每年分期偿还，在第5 次还款后，因资金短缺，随后的两年内
4、未进行正常还贷。若借款人从第8 年底重新开始还贷，并在20年内还清。计算调整后的每次还款额。解： 设正常每次还款为R ，调整后每次还款X ，以当前时间和第5 年底为比较日，有20000 = Ra20pXa13p v2 = Ra15p整理得：X = 20000 a15p a20p (1 + i)2a13p8 某贷款L 原计划在25 年内分年度等额还清。但实际上从第6 次到第10 次的还款中每次多付K 元，结果提前5 年还清贷款。试证明：K =a20p a15pa25p a5p L证： 以第20 年年底为比较日，设每次还款为R ，有L = Ra25pKs5p (1 + i)10 = Ra5p整理即
5、得。9 设Bt 表示未结贷款余额，证明：(1) (Bt Bt+1)(Bt+2 Bt+3) = (Bt+1 Bt+2)2;(2) Bt + Bt+3 Bt+1 + Bt+2证： (1)(Bt Bt+1)(Bt+2 Bt+3) = (R + Bt+11 + i Bt+1) (Bt+2 (1 + i)Bt+2 R)=R iBt+11 + i (R iBt+2)= (R iBt+1) R i(1 + i)Bt+1 R)1 + i= (R iBt+1)2= (Bt+1 Bt+2)2(2)Bt Bt+1 = R iBt R iBt+2= Bt+2 Bt+3) Bt + Bt+3 Bt+1 + Bt+2默认
6、每次还款额是相同的！10 某贷款按季度分期偿还。每次1000 元，还期5 年，季换算名利率12%。计算第6 次还款中的本金量。解：P6 = B5 B6= 1000a205p3% 1000a206p3% = 1000 1.0315= 641.86 元11 n 年期贷款，每年还款1元。试导出支付利息的总现值(去掉：之和)。解： 设第t 年支付的利息为It ，有It = iBn+1t= ian+1tp= 1 vn+1t支付利息的总现值为：I =nt=1Itvt=nt=1(1 vn+1t)vt= anp nvn+112 设10000 元贷款20 年还清，年利率10%，证明第11 次中的利息为10001
7、 + v10元。此处有改动10000改成1000证： 设每期还款额为R ，由上题的结论有I11 = R(1 v10)=10000a20p (1 v10)= 10000 i1 + v10=10001 + v1013 设有20 次分期还贷，年利率9%。问：第几次还款中的本金量与利息量差额最小。解： 不妨设每次还款额为1。Pt It = vnt+1 (1 vnt+1)= 2vnt+1 1由2vnt+1 1 = 0 t 12.96验证t = 12, 13 的情形易得第13 次本金量与利息量差额最小。14 现有5 年期贷款，分季度偿还。已知第3 次还款中的本金为100 元，季换算的名利率10%。计算最后
8、5 次还款中的本金量之和。解： 以一季度为时间单位，设每次还款额为R，由题意得Rv203+1 = 100 R =100v18于是最后5 次本金总额为R(v1 + + v5) = 724.59 元15 现准备用20 年时间分期偿还一笔贷款，且已知前10 年的年利率为i ，后10年的年利率为j 。计算：(1) 第5 次偿还中的利息量；(2) 第15 次偿还中的本金量。解： 设初始贷款量为1 ，每年还款额为R ，有：1 = Ra10pi + Ra10pj (1 + i)10) R =1a10pi + (1 + i)10a10pj (1) I5 = iB4= iR(a6pi + (1 + i)6a10
9、pj )(2) P15 = B14 B15= Ra6pj Ra5pj = R(1 + j)616 原始本金为A 的抵押贷款计划在尽可能长的时间内每年偿还K ，且最后一次将不足部分一次还清。计算：(1) 第t 次偿还的本金量；(2) 摊还表中的本金部分是否为等比数列？解： 设总还款次数为n ，最后一次还款中不足部分设为B 。(1) 利用追溯法可得Bt =A(1 + i)t Kstp , t n0, t = n故Pt =(K iA)(1 + i)t1, t L2Bk1 = Rank+1p 1故K = n + 1 ln(vn + 1) ln 2ln v + 1其中x 表示取整函数。21 设有年利率2
10、.5%的15000 元贷款，每年偿还1000 元。计算第几次还款中本金部分最接近利息部分的4 倍解： 设第k 次还款本金部分最接近利息部分的4 倍。利用追溯法Bk1 = L(1 + i)k1 Rsk1p Ik = iBk1 = iL(1 + i)k1 R(1 + i)k1 1Pk = R Ik = R(1 + i)k1 iL(1 + i)k1再由Pk = 4Ik 得k 11。22 某贷款在每年的2 月1 日等额还贷。已知1989 年2 月1 日的还款中利息为103.00 元，1990 年2 月1 日的还款中利息为98.00 元，年利率8% 。计算：(1)1990 年还款中的本金部份；(2) 最
11、后一次不足额还款的日期和金额。解： (1) 设In, Pn 为别为n 年的利息部分和本金部分，I1990 = I1989 iP1989 P1989 = 62.5又I1989 + P1989 = I1990 + P1990 P1990 = 67.5(2) 利用递推公式容易求得2000 年2 月1 日还款后未结贷款余额为101.43 元，已经小于165.5 元。同时易得B1989 = 1225 。设最后一次还款在2000年2月1日后经过时间t收回。于是t满足1225 = 165.51 v11+ti t = 0.653故最后一次还款时间为2000 年9 月24 日，金额为165.5 1.08t10.08 = 106.67元。建议把最后不足部分的偿还方法说清楚，我们用的
