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2013年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(安徽卷)

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2013年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(安徽卷)_第1页
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2013年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(安徽卷)一、单项选择题,共 10 题,每题5分1、设i数单位, 是复数z共轭复数,若z ,则 =( ) (A) 1+i (B) 1-i (C) -1+i (D) -1-i 【答案】A;2、如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】D;3、在下列命题中,不是公理的是( ) (A) 于同一个平面的两个平面相互平行 (B) 在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 (C) 一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 (D) 两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A;4、 “是函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的( ) (A) 充分不必要条件(B) 不充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件 【答案】C;5、某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( ) (A) 抽样方法是一种分层抽样 (B) 抽样方法是一种系统抽样 (C) 名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 (D) 级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【答案】C;6、已知一元二次不等式f(x)<0的解集为 ,则 的解集为( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】D;7、在极坐标系中,圆p=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】B;8、函数y=f(x)的图像如图所示,在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数 使得 则 的取值范围是( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】B;9、在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足 则点集 所表示的区域的面积是( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】D;10、若函数 有极值点 , ,且f(x1)=x1,则关于x的方程 的不同实根个数是( ) (A) 3(B) 4(C) 5(D) 6 【答案】A;二、填空题,共 5 题,每题5分1、若 的展开式中x4的系数为7,则实数a=_________。

【答案】;2、设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c若b+c+2a,则 则角 _________. 【答案】;3、已知直线y=a交抛物线 于A,B两点若该抛物线上存在点C,使得∠ABC为直角,则a的取值范围为___________ 【答案】;4、如图,互不相同的点 和 分别在角O的两条边上,所有AnBn相互平行,且所有梯形 的面积均相等设 若 则数列 的通项公式是____________ 【答案】;5、如图,正方体 的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段 上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S则下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①当 时,S为四边形 ②当 时,S为等腰梯形 ③当 时,S与 的交点R满足 ④当 时,S为六边形 ⑤当 时,S的面积为 【答案】①②③⑤ ;三、解答题,共 6 题,每题5分1、已知函数 的最小正周期为 。

(Ⅰ)求ω的值; (Ⅱ)讨论f(x)在区间 上的单调性 【解析】(Ⅰ) . 因为 的最小正周期为 ,且 ,从而有 ,故 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,若 ,则 当 ,即 时, 单调递增, 当 ,即 时, 单调递减, 综上可知, 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减 2、设函数f(x)=ax-(1+a2)x2,其中a>0,区间I={x|f (x)>0} (Ⅰ)求的长度(注:区间 的长度定义为 ); (Ⅱ)给定常数k∈(0,1),当时,求l长度的最小值 【解析】(Ⅰ)因为方程 有两个实根 , 的解集为 ,因此区间 , 的长度为 (Ⅱ)设 ,则 ,令 ,得 ,由于 ,故 当 时, , 单调递增; 当 时, , 单调递减; 所以当 时, 的最小值必定在 或 取得, 而 ,故 因此当 时, 在区间 上取得最小值 。

3、设椭圆 的焦点在x轴上 (Ⅰ)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程; (Ⅱ)设 分别是椭圆的左、右焦点,P为椭圆 上的第一象限内的点,直线 交 轴与点 ,并且 ,证明:当 变化时,点 在某定直线上 【解析】(Ⅰ)因为焦距为1,所以 ,解得 , 故椭圆E的方程为 (Ⅱ)设 ,其中 ,由题设知 , 则直线 的斜率 ,直线 的斜率 , 故直线 的方程为 , 当 时 ,即点 的坐标为 , 因此直线 的斜率为 , 由于 ,所以 化简得 将上式代入椭圆E的方程,由于 在第一象限,解得 ,即点 在直线 上 4、如图,圆锥顶点为p底面圆心为o,其母线与底面所成的角为22.5° 和 是底面圆 上的两条平行的弦,轴 与平面 所成的角为60°, (Ⅰ)证明:平面 与平面 的交线平行于底面; (Ⅱ)求 。

【答案】设 的中点为 ,连接 , 由圆的性质, , 因为 又 ,因此 ,而直线 在面 上的射影为直线 ,故 为 与面 所成的角,由题设, 设 ,则 , 根据题设有 ,得 , 由 和 ,可解得 , 因此 , 在 中, , 故 【解析】(Ⅰ)证明;设面 与面 的交线为 , 因为 , 不在面 内,所以 , 又因为 ,面 与面 的交线为 ,所以 , 由直线 在底面上,而 在地面外可知, 与底面平行 (Ⅱ) 5、设函数 ,证明: (Ⅰ)对每个 ,存在唯一的 ,满足 ; (Ⅱ)对任意p∈N+,由(1)中xn构成数列{xn}满足 【解析】(Ⅰ)对每个 ,当 时, ,故 在 内单调递增 由于 , 当 , ,故 ,又 , 所以存在唯一的 ,满足 。

(Ⅱ)当 时, ,故 , 由 在 内单调递增知, ,故 为单调递减数列 从而对任意的 , , 对任意的 ,由于 (1)式减去(2)式并移项,利用 ,得 因此,对任意 ,都有 , 6、某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责,已知该系共有 位学生,每次活动均需该系 位学生参加( 和 都是固定的正整数)假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系 位学生,且所发信息都能收到记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 (Ⅰ)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率; (Ⅱ)求使 取得最大值的整数 【解析】(Ⅰ)因为事件 :“学生甲收到李老师所发信息”与事件 :“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件,所以 与 相互独立,由于 ,故 ,因此学生甲收到活动通知信息的概率 。

(Ⅱ)当 时, 只能取 ,有 , 当 时,整数 满足 ,其中 是 和 中的较小者,由于“李老师和张老师各自独立,随机地发活动通知信息给 位同学”所包含的基本事件总数为 ,当 时,同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数为 仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数均为 ,由乘法计数原理知:事件 所包含基本事件件数为 ,此时, , 当 时, , 假如 成立,则当 能被 整除时, , 故 在 和 处达到最大值; 当 不能被 整除时, 在 处达到最大值,(注 表示不超过 的最大整数) 下面证明 , 因为 ,所以 , 而 ,故 ,显然 , 因此 3 / 12。

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