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1、1.调和数列调和数列的定义调和数列的性质1. 调和数列的前n项和不是整数。2. 调和级数发散 展开调和数列的定义 调和数列的性质1. 调和数列的前n项和不是整数。2. 调和级数发散 展开调和数列的定义 定义1：自然数的倒数组成的数列，称为调和数列.定义2：若数列an满足1/a （n+1）-1/an二d （nN*, d为常数）,则称数列an 调和数列 调和数列的性质调和数列的前n项和不是整数。对任意正整数neN,有Sn=1+1/2+1/3+.1/n不是整数。证明：若不然，则令1+1/2+1/3+.1/n=K （Kez）。考察正整数i,使得 2in2i+1,由整数的唯一分解性，对任意整数a二n有a
2、=2j*g,其中j2i+1n,矛盾！）。 令B二1,2,3.n为1n最小公倍数，则有B*K为偶数（因为B中显然有因子2）, 但B*（1/2）为奇数（因为B中最多只有i个因子2）, B*（ 1/a）为偶数（因为 j1/21/5+1/6+1/7+1/81/2 1/2 (k-1)+1 + 1/2 (k1)+2+1/2 k2 (k-1)(1/2 k)=1/2对于任意一个正数a把a分成有限个1/2 必然能够找到k,使得1+1/2+1/3+1/4+ +1/2八ka所以 n8时，1+1/2+1/3+1/4+ +1/n8(由 1/n1/(sqrt(n)21/(sqrt(n)+sqrt(nT)二sqrt(n)-
3、sqrt(n-1) (sqrt(n) 表示n的开方)也可证明。)2.sn=1+1/2+1/3+.1证明：当 n2时，sf22(s2/2+s3/3+.sn/n)2011-01-25 23:08Sf2=(S(n-1)+1/n厂2二S(n-1)厂2+2S(n-1)/n+1/f2= S(n-1) 2+2S(n-1)+2/n/n-1/n 2二S(n-1)2+2Sn/n-1/n2以此类推可得Sf2=S2-1/22-1/3辺-1/n2+2(s2/2+s3/3+.sn/n)只要证明n=2时，S1 2-1/2 2-1/3 2-1/n 2=0 即可因为，S1=1且对任意n=1均有，1/n-1/(n+1厂2二(n+
4、1厂 2-n/n(n+1厂 2=(n 八 2+n+1)/n(n+1厂 2(n 八 2+n)/n(n+1厂 2=1/(n+1)故S1 2-1/2 2-1/3 2-1/n2= (1/1 2-1/2 八 2)-1/3 八-1/n 八 21/2-1/3 2-1/n 21/3-1/n 八 21/(n-1)-1/n 八 20原式得证。已知Sn=l+l/2+l/3+.l/n,用归纳法证明S2的n次方1+2分之n,n要大于1, n为整数法:证明：由已知条件可得S2 = 1+1/2=3/2假设n大于1且n为整数时，(S2Fn1+n/2成立当 n = 2 时，左边(S2Fn=3/2*3/2=9/4，右边=1+2/
5、2 = 2左边大于右边，所以当n=2时不等式成立 假设当n = n时，左边(S2Fn=(3/2) 5，右边=1+n/2，左边大于右边，则当门=门+1 时，左边(S2)An=(3/2) A (n+1)=3/2*(3/2)An3/2* (1+n/2) =(6+3n) /4 (6+2n) /4右边=1+ (n+1) /2=3/2+n/2=(6+2n) /4左边右边所以，n大于1且n为整数时，(S2)an1+n/2成立法二：用数学归纳法证明如下：S2=1+1/2=3/2当 n=2 时，(S2)A2=(3/2)A2=9/41+2/2=2；假设当 n1，(S2)an1+n/2 成立，则(S2)A( n+1
6、)=S2(S2)A n=(3/2)(S2)A n(3/2)(1+n/2)=3/2+3n/43/2+2n/4=3/2+n/2=1+(n+1)/2 成立，故有S2的n次方1+2分之n，n大于1且n为整数4.用数学归纳法证明4的(2n+1)次方+3的(n+2)次方能被13整除法一：证明：(1) N=1：4A(2+1)+3A(1+2)=64+27=91=7*13显然能够被13整除。(2)假设N=K时，原式能够被13整除。那么当N=K+1时有：4A2(k+1)+1+3A(k+1+2)=4A(2k+3)+3A(k+3)=4A(2k+1)*16+3A(k+2)*3=4A(2k+1)*(13+3)+3k+2)
7、*3=13*4A(2k+1)+3*4A(2k+1)+3*3A(k+2)=13*4A(2k+1)+3*4A(2k+1)+3A(k+2)因为：4A(2k+1)+3A(k+2)能够被13整除，所以，上式也能够被13整除。综上所述，4的(2n+1)次方+3的(n+2)次方能被13整除法二：证明：n=0 时，4A(2 n+1) + 3八们+2) = 4八1 + 3八2 = 4 + 9 = 1313/13 = 1命题成立假设n = k时命题成立，即f(k) = 4A(2k+1) + 3A(k+2)f(k)/13是整数，并设f(k) = 13*m，其中m是整数则n=k+1时f(k+1)=4A2(k+1)+1
8、 + 3(k+1)+2=4A(2k+3) + 3A(k+3)=16*4A(2k+1) + 3A(k+3)=16*f(k) - 3A(k+2) + 3*3A(k+2)=16*f(k) - 16*3A(k+2) + 3*3A(k+2)=16*f(k) - (16-3) * 3A(k+2)=16*f(k) - 13 * 3A(k+2)因此f(k+1)/13=16*f(k)/13 - 3A(k+2)=16m - 3A(k+2)因为16m - 3A(k+2)是整数所以f(k+1)/13是整数，即f(k+1)能被13整除。因此n = k+1时，命题成立综上所述，4A(2n+1) + 3A(n+2)能被13
9、整除。5.用数学归纳法证明3的2n+2次方-8n-9能被64整除数学归纳法当n=1的时候上面的式子=3八4-8-9=64成立假设当n=k的时候3A(2k+2)-8k-9能够被64整除当 n=k+1式子=3A(2k+4)-8k-17=93A(2k+2) -8k-9 +64k+64因为3A(2k+2)-8k-9能够被64整除 93A(2k+2) -8k-9 +64k+64 能够被 64 整除n=k+1时，成立根据上面的由数学归纳法知道3的2n+2次方-8n-9能被64整除。6.请用数学归纳法证明:n平方小于2的n次方应该是n=5时nA2=5即 kA2=5所以(k-1)A2-20所以 kA22k+1
10、所以 2AkkA22k+1所以 2k+1-2Akv0所以(k+1)A2v2A(k+1)综合(1),(2)命题得证7.求满足不等式(l+1/n)的N次方n的正整数的N的范围，用数学归纳法证明法一：n=1或2时不成立.1当n=3时，等式成立.2假设当n=k时原式成立，即(l+1/k)的 k 次方k;当 n=k+1 时,(1+1/(1+k)的 k+1 次方(1+1/k)的 k+1次方k*(1+1/k)=k+1.由1,2可知，原命题得证法二：N等于1,2时显然不成立。下面证明n不小于3时不等式恒成立。对(1+1/x)的X 次方求导，得-(1/XJIn(1+1/x)(1+1/x)的x次方。当为正数时恒大
11、于零，所以原式 在正数范围内严格递增。由e=lim(1+1/x)的x次方(x趋于无穷大)得(1+1/x)的 x次方vev3，所以原不等式当x大于3时恒成立。用数学归纳法证明：1+1/2+1/3+.+1/2的N次方-lnn=1,1=1,不等式成立，设 n=k 时 1+1/2+1/3+.+1/2 的 k 次方-1k则n=k+1时左边=1+1/2+1/3+.+1/2 的 k 次方-1+1/(2A(k-1)+1)+1/(2A(k-1)+2)+1/(2Ak) 右边=k+1根据假设 1+1/2+1/3+.+1/2 的 k 次方-1 k1/ /2A(k-1)+1) +1/ /2A(k-1)+2) +1/ /2Ak)2A(k-1)*1/(2A(k-1)=1所以左边1)，这不可能.原理2把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个 或多于m+1个的物体。证明(反证法)：若每个抽屉至多放进m个物体，那么n个抽屉至多放进mn 个物体，与题设不符，故不可能.原理12都是第一抽屉原理的表述第二抽屉原理：把(mn 1)个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有(m1) 个物体。证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体
