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1、 基于根轨迹法的超前-滞后校正超前校正的根轨迹设计法。滞后环节的根轨迹设计方法超前滞后校正的根轨迹设计法。111基本概念1根轨迹根轨迹是指系统的增益K由零到正无穷大时的闭环特征方城的根在s平面上的变化的轨迹。在系统的增益K由零变化到负无穷大时闭环特征方程的根的轨迹为补根轨迹。系统闭环特征方程的根轨迹与补根轨迹称为全根轨迹。通常情况下根轨迹时指增益K由零到正无穷大下的根的轨迹。2超前校正的根轨迹设计法。 基于根轨迹的超前校正设计是通过串联超前校正环节，即增加开环极点和零点，对原来的根轨迹进行调整，得到所需的根轨迹。通常用解析法获得超前校正环节。设校正环节的传递函数为：sTZ1GC（s）KC一一一
2、一sTP1解析法的设计步骤如下：（1） 根据所需闭环系统稳态误差和瞬态特性，确定闭环极点s1,并设定校正环节的增益KC;（2） 根据闭环特征方程的幅值和相位角条件，应该满足如下条件：s1TZ+1 GC(s1)G(s1)=KCMGE-jG=1Ejs1TP+1式中，Mg是开环系统G在s1的幅值，G是开环系统G在s1的相位角。（3） 设s1表示为s1=MSE-jS,则有1Ej MSE-jsTz+1= MSE-jSTP+1KCMGE-jG（4） 上述方程分解为实部和虚部两个方程，得到有两个未知数的两个方程，其解为sinS-KCMGsin(GS) KCMGsinS+sin(GS)TZ= ；TP= KCM
3、GsinG MSsinG (5) 根据TZ, TP,KC得到超前校正环节的传递函数GC(s);(6) 检查闭环系统的其它性能指标是否满足要求，如果不满足，则改变KC,重新计算。例如：已知燃油调节控制系统的开环传递函数为2GP(s)=s(1+0.25s)(1+0.1s)试设计超前校正环节，使其校正后系统静态速度误差系数小于KV=10，闭环主导极点满足阻尼比=0.3和自然频率Wn=10.5rad/s。 解析法的子函数程序代码如下:function Gc=ggjx(G,s1,kc)numG=G.num1;denG=G.den1;ngv=polyval(numG,s1);dgv=polyval(den
4、G,s1);g=ngv/dgv;theta_G=angle(g);theta_s=angle(s1);MG=abs(g);Ms=abs(s1);Tz=(sin(theta_s)-kc*mgc*sin(theta_g-theta_s)/(kc*mgc*ms*sin(theta_g);Tp=-(kc*mgc*sin(theta_s)+sin(theta_g+theta_s)/(ms*sin(theta_g);Gc=tf(Tz 1,Tp 1);主程序代码如下: num=2; den=conv(1 0,conv(0.25 1,0.1 1); G=tf(num,den); zeta=0.3;wn=10.
5、5;%建立二阶系统分子项和分母项num,den=ord2(wn,zeta);s=roots(den);s1=s(1);kc=5;Gcggjx（G，s1,kc）%超前校正环节GGcG*Gc*kc；原系统的闭环传递函数Gy_cl=feedback(G,1);Figure(1);Step(Gx_cl,b,3,5);Hold on;Step(Gx_cl,r,3,5);Figure(2);impulse(Gx_cl,b,3,5);Hold on;impulse(Gx_cl,r,3,5);超前校正环节：Transfer function:0.3055s+1-0.03429s+1原系统闭环传递函数:Tran
6、sfer function:2-0.025s3+0.35s2+s+2校正厚的系统闭环传递函数：Transfer function: 3.055s+10-0.0008572s4+0.037s3+0.3843s2+4.055s+10(校正前后闭环系统的单位阶跃响应曲线)由运行图可以看出，校正前系统的超调量为=12。1%，上升时间为Ts=1。06s，过渡过程时间Ts=2。06s，系统的稳定幅值为1；校正后系统的超调量为=32%，上升时间Tr=0。225s，过渡过程时间Ts=0。792s，系统稳定幅值为1，由以上性能参数数据可知，经过超前校正后的系统，性能明显提高。3滞后环节的根轨迹设计方法通常基于根
7、轨迹的滞后校正设计用于满足系统的稳定和动态性能要求，其几何法设计步骤如下：假定滞后校正环节的传递函数为（s+a）GC（s）=KC -（a+b）（1） 确定所需的闭环极点位置；（2） 绘制原开环系统的根轨迹图；（3） 确定在根轨迹或者附近的闭环极点所对应的原系统增益Kc；（4） 确定所选择的Kc是否满足校正后系统的静态误差要求；（5） 选择a/b的比值，使系统满足所需要的静态误差要求；（6） 改变校正环节的零极点位置，得到所需的根轨迹。例如：已知工业锅炉控制系统的开环传递函数为4G(s)= -s(s+3)试设计滞后校正环节，要求阻尼比=0.707，系统静态速度误差小于等于5%。num=4;den
8、=1 3 0; g=tf(num,den)；zeta=0.707; wc=5; r,k=rlocus(g); za=zeta/sqrt(1-zeta2); ri=r(1,find(imag(r(1,:)0); ra=imag(ri)./real(ri); kc=spline(ra,k(find(imag(r(1,:)0),1/za); 立方插值 syms x ng dg; ng=poly2sym(g.num1); dg=poly2sym(g.den1); ess=limit(ng*kc/dg*x); 求静态误差系数 beta=round(100/sym2poly(ess)/wc); tz=0.
9、1; tp=tz/beta; gc=tf(1 tz,1 tp) Transfer function: s + 0.1-s + 0.007692比较校正前后系统的单位阶跃响应曲线 n1=4; d1=1 3 0; g1=tf(n1,d1)；n2=1 0.1; d2=1 0.007692; g2=tf(n2,d2)； gx=feedback(g1,1) Transfer function: 4-s2 + 3 s + 4 gy=feedback(g2*g1*kc,1) Transfer function: 4.501 s + 0.4501-s3 + 3.008 s2 + 4.524 s + 0.450
10、1 figure(1) step(gx,r,25) hold on; step(gy,b,25)(校正前后闭环系统的单位阶跃响应曲线)由运行图可知，校正前系统的超调量为=2。83%，上升时间tr=1。83s，过渡过程时间为ts=1。57s，系统稳定幅值为1。校正后系统的超调量为=10。3%，上升时间tr=1。41s，过渡过程时间为ts=3。72s，系统稳定幅值为1，由以上性能参数数据可知，经过滞后校正后系统的性能明显提高。4. 超前滞后校正的根轨迹设计法。超前校正和滞后校正各有优点和缺点，当需要同时改善系统的动态性能和静态性能，即大幅度增大增益和带宽时，常采用超前滞后校正环节。设超前滞后校正环
11、节传递函数为STZ+1 TS+1GC（s）= KC x - x -STP+1 TS+1超前滞后校正环节设计步骤如下：（1） 确定闭环极点S1；（2） 计算超前相位角 m；（3） 确定校正环节的增益KC；（4） 对于滞后校正部分，可以选择较大T1，从而使滞后校正部分的零极点靠近原点；（5） 确定T1和，并且得到T2；（6） 检查校正环节串联之后组成的闭环系统是否满足性能需要。例如： 已知水输送自动控制系统的开环传递函数为:4GP（s）=-s*（s+0.5），试设计超前滞后校正环节，要求使其校正后系统静态速度误差系数小于5，闭环主导极点满足阻尼比=0.5和自然频率Wn=5rad/s，相位裕度为50
12、度。根据=0.5 Wn=5rad/s由设计要求知，取校正环节增益KC=1。先设计超前校正环节 num=4; den=1 0.5 0; g=tf(num,den)； zeta=0.5; wn=5; kc=1; dpm=50+5; ng=g.num1; dg=g.den1; n1,d1=ord2(wn,zeta); %建立二阶系统分子项和分母项 s=roots(d1); s1=s(1); ngv=polyval(ng,s1); dgv=polyval(dg,s1); G=ngv/dgv; theta_g=angle(G); theta_s=angle(s1); MG=abs(G); MS=abs(
13、s1); Tz=(sin(theta_s)-kc*MG*sin(theta_g-theta_s)/(kc*MG*MS*sin(theta_g);. Tp=-(kc*MG*sin(theta_s)+sin(theta_g+theta_s)/(MS*sin(theta_g); gc=tf(Tz 1,Tp 1) Transfer function:1.242 s + 1-0.1867 s + 1再设计滞后校正环节 num=4; den=1 0.5 0; g=tf(num,den)；r,k=rlocus(g); za=zeta/sqrt(1-zeta2); ri=r(1,find(imag(r(1,:)
