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1、案例2 “球的体积”教学南京师大附中 马明编者按：马明先生的这篇用“祖暅原理”来推导“球的体积公式” 的教案，风行全国久矣。然现行高中立几教材对“球的体积公式” 已不用“祖暅原理”来推导，而采用 “分割，求近似和转化为精确和”的措施。本书之因此再次转载，是由于这篇教案魅力不减，仍极具教学参照和鉴赏阶值。一、教案描述：通过“球的体积”的教学，不仅规定学生熟记球的体积公式，更要培养学生观测、估算、猜想、构造和论证能力，并注意完善学生认知构造. 若只规定学生记住有关公式，剩余的就是反复练习解几种一元方程：已知半径求体积；已知体积求半径，这是减少教学规定，把高中课降为初中课的做法师:（板书）已知球的半
2、径为R，求V球=？（出示小黑板图23）思维从问题开始 师:为了计算半径为R球的体积，可以先计算半球的体积V半球 .观测图23，你一定能在V圆柱、V半球、V圆锥这三个量之间对的地写上不等符号（学生完毕）得V圆柱V半球V圆锥.提供类比,让学生目测大小,温故而知新,用以强化结识过程师:由于 是已知的，便得双重不等式（板书）:V圆柱 = V圆锥= 向“量化”过渡你能猜想V半球=?引诱学生猜想.猜想是发现的开始生:诱导一下师:(R3的系数“1”改写为“”,得师:可以大胆某些,准许猜错.生: V半球 = 对吗?此答案不一定出自成绩最佳的学生,而是胆大者,思维活跃者师:有一定理由,由于3/32/31/3嘛!
3、然而,这太冒险了.既鼓励,又提出更高规定,使学生仍处在激奋境地用行动支持敢于大胆猜想的学生师:我们不妨做一种实验,用以验证这个猜想.理、化有实验,数学也可以有实验,美国盛行“数学实验教学法”,这对激发学生学习爱好,培养学习能力都十分有利取一种半径为R的半球面,再取半径和高都是R的圆桶和圆锥各一种,都是铁皮制成的容器.将圆锥放入圆桶内(图24),再将半球容器装满细沙,然后把半球内的细沙倒入圆桶内,发现圆桶正好被装满师:你能将实验成果用一种等式体现出来吗?鼓励学生将实验成果“量化”(构造一种等式)是十分重要的数学措施生1:板书 V圆柱V圆锥=V半球生2:板书 V半球=V圆柱 V圆锥=师:于是得(板
4、书) V球= 且V圆柱: V半球: V圆锥=3:2:1师:中学数学是建立在推理的基本上的,实验成果与否可靠?还要进行论证才行.中学理、化是建立在实验基本上的用数学工具去证明实验成果,学生爱好盎然师:我们目前的任务是证明这个实验成果,或者说,是要证明图23右边布满细沙的几何体与左边布满细沙的半球是等积形.而右边几何体的体积是已知的.板书该几何体的体积=.如果再能证明它又符合祖暅原理中的“条件”.我们就可以将它做为半球的参照体.;为了运用祖暅原理,所引入的几何体必须符合两个条件:它的计算公式是已知的它符合祖暅原理的条件;该几何体与原几何体要夹在两个平行平面之间,且用平行于这两个平面的任意一种平面去
5、截时,截得的截面面积总相等.符合以上两个条件的几何体可叫做原几何体的参照体,在前面推导柱、锥的体积的多次教学中应当引用这个术语，让学生熟悉祖暅原理与该术语的关系该几何体与半球同高(R),这阐明它与半球可以夹在两个平行平面之间,剩余的问题是要证明它与半球的等距截面的面积相等.用与底面平行的任一平面去截图24的两个几何体,截面分别是圆面和圆环面(图25).如果截面与平面的距离为l,那么圆面半径,圆环面的大圆半径为R,小圆半径为l,因此S圆=r2=(R2 l2),S圆环=R2l2=(R2 l2),因此S圆=S环根据祖暅原理,这两个几何体的体积相等,即V半球= 因此V球 = 由此,“猜想”得到证明,可
6、以写成定理形式:从猜想到证明是“质”的升华!是学习数学的最重要的素质定理:如果球的半径是R,那么它的体积是V球 =师:你准备如何记忆这个结论呢?不管是意义识记或是机械识记,在这里都是有效的,都是可行的.根据各个学生的学习习惯,不必强求一律生1:根据“细沙实验”V半球=V圆柱 V圆锥= V球 =生2:我保要记住 V圆柱: V半球: V圆锥=3:2:1就行了.师:尚有其他的记忆措施吗?例如,把球体视为拟柱体,采用拟柱体的体积公工试试看.数学教师要不要培养学生的记忆能力?这是有争议的.看来,数学教师有也许,也有必要去培养学生的记忆能力生:板演V拟柱体=对于球,因此V球= =随时复习与应用拟柱体公式师
7、:这能作为球体积公式的证明吗?生:球体不是拟柱体,不能作为证明,但可以作为一种记忆措施.师:尚有其他的记忆措施吗?例如,将球体分割成许多小的锥体,球心是这些小锥体的顶点,锥的底面不是平面,而是球面的一小部分(是曲面)请看图26.是可贵的数学思想 于是V球=许多小锥体之和,而这许多小锥体的高可视为球半径R，又由于所有小锥体的底面之和=球面积=4R2，因此V球=发展学生的空间想象能力同样，这也不能作为球体积公式的证明.但是,使人感到爱好的是,拟柱体小锥体与球体的这种“默契”,这种内部的一致,给人们和谐的感觉,它不仅可以协助人们记忆,还给人以和谐美的感受!升华了师:目前再请人们自己解答一种问题板书不
8、十分困难的例题由学生自己解答,然后再对照课本并进行议论,有时比教师直接解说要收效大些,不妨一试有一种空心钢球,重142g,测得外径等于5.0cm , 求它的内径(钢比重是7.9g/cm3).师:这是课本的例题,解完后自行对照课本.同步由一位学生板演议论: (略)师:今天这堂课的核心是构造一种球的参照体,而“细沙实验”协助我们解决了这个问题.你能离开实验,通过度析直接构造这个参照体吗?替代小结,将课内效果引向课外直接构造参照体二、教案分析这份教案显然是写给别人看的,如果只是为了自己教学,我想,只要记下教学过程就行了:1 提出问题V求=?2 目测圆柱、半球、圆锥这三者之间的大小关系3 得猜想：V半
9、球4 细沙实验验证“猜想”5 构造参照体，证明“猜想”6 得定理谈记忆7 例题小结作业我为什么要采用上面这几种环节？理由如下：目前的数学教材是从少数公理和原理出发，通过演绎，将知识展开.于是,过程14都可以省略.并且,“参照体”也是由教材直接给出的(不需要构造).师生的任务只是用演绎法推得V半球.这就是“内化”过程.由于教材总是把知识和措施用定论的形式直接呈目前学生面前,新、旧知识的衔接点直接给出,内化任务不久就完毕.因此,这种做法的长处是直截了当,节省时间;缺陷是学生缺少一种完整的结识过程,把知识或措施不是作为“过程”而是作为“成果”直接抛给学生.长此以往,越“抛”越多,学生头脑中很难形成一
10、种有效的认知构造,成果成绩分化,浮现大量差生.反之,插入环节14,则环节5的“构造参照体”(这是全课的核心)就十分自然.从“目测”到“实验”, 这是强化“发现”,而环节5则是内化.这种先发现后内化的过程又是在教师指引下进行的,教师的主导作用和学生的学习积极性十分融洽.“目测”、“大胆猜想”、“实验”等环节，所有差生均有发言权,优生也不乏味;从“实验”到“构造参照体”, 随流而下,直闯核心(浮现参照体),终达彼岸(得定理).最后“谈记忆”,生动活泼,乃至升华; “小结提问”,余味不尽.数学教学的实质是思维过程的教学, “直截了当”则掩盖了“思维过程”,把知识和措施不是作为思维过程暴露在学生面前,
11、而是作为成果抛给学生,这种“奉送”的做法势必回避了教学思想的培养.长此以往,学生的数学素质很难得到提高.最后,还要阐明一点, “构造参照体”是本课的难点,本教案采用了“细沙实验”,也就回避了“构造性困难”,因此本教案是为一般班设计的,而“好班”就不应当回避构造困难,何况“构造参照体”是运用祖暅原理的核心,也是学习这一段教材(从柱体开始)的核心所在.因此,建议根据学生状况补充下述内容:参照体与祖暅原理为了运用祖暅原理计算某个几何体的体积,常要构造另一种几何体,此几何体必须符合两个条件(1)它的计算公工是已知的;(2)它符合祖暅原理的条件,即该几何体与原几何体能夹在两个平行平面之间,且用平行于这两
12、个平面的任意一种平面去截它们时,截得的截面面积总相等.为了下面的论述以便起见,把符合这两个条件的几何体叫做原几何体的参照体,或简称参照体.例1 旋转体的母线是抛物线的一部分,其方程为y=x2(0yH),y轴为旋转轴,求该旋转体的体积解 将此旋转体放在平面上,用与平面平行且相距h的平面去截,得截面圆的面积=矩形面积(一边为常量,另一边为变量h).这阐明参照体的截面可以是一种矩形,其一边长,另一边长为变量h,于是得参照体:以等腰直角三角形ABC为底面(两腰长H),高AA1=的直三棱柱ABC-A1B1C1(图27的右侧)由于参照体的体积=底面积高=,因此所求旋转体的体积= 作者简介马明，1929年生，1951年开始参与教育工作，从事中学数学教学及研究五十余年。首任南京师大附中副校长，现任南京师大数学系兼职专家。1984年被授予中学数学特级教师称号，代表性论著有马明数学教育论文集等。除本职工作外，并兼任国家教育部中小学教材审定委员会中学数学学科审查委员、江苏省中小学数学教学研究会副理事长等职。
