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1、解析几何中常见的“设而不求”方法所谓“设而不求”，就是根据提议巧妙设立未知数，来沟通“未知”和“已知”之间的 关系，从而帮助我们解题，而未知数本身并不需要求出它的值。“设而不求”的方法把关注 通过运算求解上升为关注为分析求解，即通过少量的计算大量的分析实现解题。“设而不求” 的方法在解析几何的一些问题中有诸多应用，它优化了学生的解题思路，让解析难题的解决 更有信心。一、点差法点差就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的 时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线 的斜率，然后利用中点求出直线方程。在解答平面解析几何中的某些问题
2、时，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求” 的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程.这类问题通常与直线斜率和弦的 中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围。例1.已知椭圆+需=l(a b 0)，A,B分别为椭圆的左右顶点，P为椭圆上任意异 a 2 b 2于A,B的点，则k -k =AP BP证明:设点A (x1, y1 )，B (xy-)P (x , y )(x 丰 x , x 丰 x2于是IM + 聲=1 a 2 b2X 2y2 ，所以= 1、a 2b2y 2 y 214，整理得b 2y y12x x12y + y12x + x1 2b2a 2y y所以x x
3、1 2y + y 01 2 0 2x + x cb 2，即 k - k = a 2 AP cb2 又 OC / / BP，所以 k = k ，于是 k - k =-。OC BPAP BPa 2评注：点差法的特点是题目中明显或隐含的中点，而中点与斜率又有某种程度的关联。点差 法的一般处理程序是设出关键点坐标，然后代入曲线方程，再作差，最后将表达式化成含有 斜率与中点的式子。变式(2014.惠州三模)如图，已知动圆M过定点F(0,1)且与x轴相切，点F关于圆心M 的对称点为F，动点F的轨迹为C .(1) 求曲线C的方程；(2) 设A(x , y )是曲线C上的一个定点，过点A任意作两条倾斜角互补的
4、直线，分别与00曲线C相交于另外两点P、Q，证明：直线PQ的斜率为定值.二、观察法 观察法就是在解决圆锥曲线中的直线方程时，把关注计算转移到关注式子的形式，从形 式的统一性谋求直线方程。在解答圆锥曲线的一些直线问题时，如果能用观察法，同样能实现“设而不求”目的， 大大减少计算量，优化解题过程。这类问题往往与求曲线的“切点弦”问题有关，是解决此 类问题的最佳方法。例2. (2013.广东高考)设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA, PB，其中A, B为切点.(I) 求抛物线C的方程；(II) 当点P(x ,y )为直线l上的定点时,求直线AB的方程；00解: (I) x2二4y.1
5、1 (II)抛物线C的方程为x2二4y,即y二-X2,求导得y二-x设A (x ,y ),B (x ,y )(其中y =,y =),则切线PA,PB的斜率分别为A x , x ,1 1 2 2 1 4 2 4 2 1 2 2xx x 2所以切线PA的方程为y-y二才(x-x )，即y =才x_才+ y，即xx-2y-2y二01 2 1 2 2 1 1 1同理可得切线PB的方程为xx-2y-2y二0，因为切线PA,PB均过点P(x ,y )，所以2 2 0 0xx -2y -2y 二01 001xx -2y -2y 二02 002观察所以（x, y ）, （x , y ）为方程x x - 2 y
6、 - 2 y二0的两组解.1 1 2 2 0 0所以直线AB的方程为x x-2y-2y二0.00评注：观察法的特点是求解直线方程思路完全颠覆常规直线的做法（两点式，点斜式等等）， 而是从已知的具有相同结构的等式中抽象出直线方程。显然观察法对学生的观察能力，直觉 思维有更大的要求的，但是却让学生更加专注于问题分析，而不是大量计算。变式2（2013广州一模）已知椭圆q的中心在坐标原点，两个焦点分别为F （2,0）,F （2,0），点a（2，3）在椭圆C.上，过点A的直线L与抛物线C : x2二4y交于1 2 1 2B，C两点，抛物线C2在点B，C处的切线分别为l ,l，且l与l交于点P.2 1 2
7、 1 2求椭圆q的方程；是否存在满足P| + |PF| = |A|+1AFI的点P?若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点P的坐标）；若不存在，说明理由.三、参数法参数法是解决圆锥曲线中与直线有关的动点轨迹的方法，该动点往往与动直线有紧密的 联系。该方法与点差法有点类似，也需要设出直线与圆锥曲线的交点坐标，不过此时交点坐 标被看成参数，然后将所得的式子选择性相乘，通过消参得到动点的轨迹方程。在解决圆锥曲线的一些动点轨迹方程时，参数法也是一种设而不求的方法，它把关注点 同样放在了式子的变形，最终实现简化运算。例3（2010.广东高考）已知双曲线迈-y 2 = 1的左、右顶点分别为% A2，点P
8、 （xi y1），Q （xi- y1）是双曲线上不同的两个动点.求直线AiP与A2 Q交点的轨迹E的方程解：A2为双曲线的左右顶点，它们的坐标为AU2，。）, A2（Q0），则AiP ： y =黑(x + 2)，1士t( x r；2)1- y 2x 2两式相乘得：y2二=（x2-2），因为点P （x , y ）在双曲线上，y2 = 1x2 -21 1211y 211x 2即1_ ，故 y 2 = （x2 _ 2），即片 + y 2 1 x 2 _ 22221经检验，以上所得椭圆的四个顶点无法取到，故交点轨迹E的方程为x21 （x 丰 0,且x 丰 * 2）.x2 y 2变式3（皿.广州一模）已知双曲线E: - _話-1（a）的中心为原点。左右焦点分别为F,F，离心率为.，点P是直线x 上任意一点，点Q在双曲线E上，1 253且满足PF - QF 0 .22若点P的纵坐标为1，过点P作动直线1与双曲线右支交于不同两点M,N，在线段必“上取异于点M, N的点H|MH|阿，证明点 H 恒在条定直线上
