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1、2.3等差数列的前n项和一、 教学目标设计知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。二、 教材内容及重点、难点分析教材内容：本节课教学内容是高中课程标准实验教科书必修5（人教A版）中第二章的第三节内容本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求
2、和公式的应用重点等差数列n项和公式的理解、推导及应用难点灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题三、 教学对象分析在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；同时学生已有了函数知识，因此在教学中可适当渗透函数思想高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍 四、教学用具：多媒体五、教学过程与活动设计教学环节教师活动学生活动设计意图复习引入用PPT展示图片创设情景有一组袋子，第一个袋子里面有一个球，后一个袋子比前一个袋子多一个相同个数的球，求(1)指定某个袋子里球的个数
3、；(2)前50个袋子里共有多少球。 、组织学生分组讨论学生分组讨论从实际问题入手，图中蕴含算数，能激发学生学习新知识的兴趣，并且可引导学生共同探讨高斯算法更一般的应用，为新课的讲解作铺垫创设情境知识链接 高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：123+100？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1100）（299）（5051）101505050.结合高斯的算法，现在大家尝试解决问题1：若第一个袋子里有一个球，后一个袋子比前一个袋子多一个球，则前51个袋子里共有多少球？问题2：前n个袋子里共有
4、（1n 100，nN*）共有多少球？（多媒体演示）如右图，在三角形图案右侧倒放一个全等的三角形与原图补成平行四边形由于左右两个三角形是全等的，容易看出并得到学生分组讨论并分享学生可能出现以下求法1：原式（12350）512：原式01250513：原式（12252751）26学生激烈的讨论高斯的算法采用首尾配对的方法来求和蕴涵着求等差数列前n项和一般的规律性为后面的教学让学生自己去观察、探索发现这种数列的内在规律做铺垫让学生领会从特殊到一般的研究方法，旨在让学生对“首尾配对求和”这一算法的改进借助几何图形的直观性，能启迪思路，唤醒学生记忆深处的东西，并为倒序相加法的出现提供了一个直接的模型1 +
5、 2 + 3 +（n1） + n= n +（n1）+ （n2）+ + 2 + 1_ (n+1) + (n+1) + (n+1) + +(n+1) + (n+1)1+2+3+n=建构模式拓展应用一般地，我们称a1+a2+an为数列的前n项和，用Sn表示 即Sn=a1+a2+an问题3： 在公差为d的等差数列an中，前n项和Sn=a1+a2+an，如何求Sn？得出如下过程：Sn=a1 + (a1+d) + (a1+2d) +a1+(n1)d Sn=an + (and) +（an2d）+an(n1)d问题3： 在公差为d的等差数列an中，前n项和Sn=a1+a2+an，如何求Sn？得出如下过程：Sn
6、=a1 + (a1+d) + (a1+2d) +a1+(n1)d Sn=an + (and) +（an2d）+an(n1)d思考认真听讲学生思考讨论通过以上启发学生再自主探究，相信容易得出解法 拓展应用 (公式1) 组织学生讨论：在公式1中若将an=a1+（n1）d代入又可得出哪个表达式?即：（公式2）分析公式：用(公式1)要求必须具备三个条件：用(公式2)必须已知三个条件： 1、 计算（1）1+2+3+.+n（2）1+3+5+.+(2n-1)（3）2+4+6+.+2n（4）1-2+3-4+5-6+.+(2n-1)-2n讲解例题：例1:根据题目信息得出未来10年内“校校通”投入资金的变化是年份
7、2001200220032004、金额500550600650、分析：根据投入的金额可以建立一个等差数列an，表示从2001年起各年投入的资金，其中a1=500，d=50，n=10已知三个条件：故选取公式（2）解：略讨论并将an=a1+（n1）d代入公式1中化简得到表达式2根据已知量，选择合适的公式进行计算出发，选用公式1；也可以从首项、公差、项数出发，选用公式2直接代公式（让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式）表格形式，可以锻炼学生处理数据信息的能力和选用公式的能力。学生可以从首项、末项、项数出发，选用公式1；也可以从首项、公差、项数出发，选用公式2，通过两种方法的比较，引导学生在解题
8、时注意选择适当的公式，以便于计算例2已知一个等差数列an前10项和为310,前20项的和为1220,由这些条件能确定这个等差数列的前n项的和吗？.提问：（1）等差数列中，成等差数列吗？（2）等差数列前m项和为,则、.、是等差数列吗？解：略例3、已知数列an的前n项的和为Sn=n2+ 1/2 n，求这个数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？提问：（1）Sn表示什么？用定义表示Sn应该如何写？（2）Sn-1呢？Sn+1呢？你发现了什么？Sn 与Sn-1之间相差什么？分析：Sn=a1+a2+anSn-1=a1+a2+an-1Sn- Sn-1= an解：略例4已知等差
9、数列 5，4，3的前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值.分析：等差数列的前n项和公式可以写为Sn=n2+(a1- )n,所以Sn可以看做y=x2+(a1- )x，当x=n时的函数值，另外，也容易知道，Sn关于n的图像是一条抛物线，因此，我们可以利用二次函数来求n.解：略回忆等差数列的性质思考两者是否有类似的性质认真听讲根据前n项的和的概念写出Sn=a1+a2+anSn-1=a1+a2+an-1易得出Sn- Sn-1= an根据老师分析的函数表达式y=x2+(a1- )x，讨论画出大致的图像从等差数列的性质： m+n=p+q (m, n, p, q N )推广到前n项的和的性质引导学生分析
10、Sn ，Sn-1与Sn+1之间的联系第4题是让学生初步接触用函数观点解决数列问题，为以后函数与数列的综合打下基础小结作业小结：（1）、等差数列的前n项和Sn=a1+a2+an公式1： ；公式2：（2）、用(公式1)要求必须具备三个条件：用(公式2)必须已知三个条件：作业;习题2.3 A组 1，2,3 B组 2勾画作业回顾反思，深化知识多次重复这两个公式，既说明了公式在数学学习中的重要，同时重复也可以让大家加深印象。六、板书设计 2.3等差数列的前n项和Sn=a1+a2+an 例题：1、略等差数列的前n项和公式1： ； 2、略公式2： 3、略Sn- Sn-1= an 4、略七、反思与评价本节课通过介绍高斯的算法，探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和从特殊到一般的研究方法，反映了等差数列的本质，可以进一步促进学生对等差数列性质的理解，而且该推导过程体现了人类研究、解决问题的一般思路本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路过程中，通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是借助图形的直观性，学生“倒序相加法”进展很顺利。
