第2章§1变化的快慢与变化§ 1变化的快慢与变化率1. 了解函数的平均变化率和瞬时变化率的定义，会求简单函数的平均变化率•(重点)2. 知道用平均变化率“逼近”瞬时变化率， 知道变化率是描述函数变化快慢 的量.(重点、难点)［基础初探］教材整理1函数的平均变化率阅读教材P25〜P27 “练习1”以上部分，完成下列问题•1. 定义：对一般的函数y= f(X)来说，当自变量X从X1变为X2时，函数值从f(X1)变为f(X2)，它的平均变化率为f ( X2)— f (X1)Xj — XI通常我们把自变量的变化X2 — X1称作自变量的改变量，记作△ X，函数值的 变化f(X2)— f(X1)称作函数值的改变量，记作△ _y.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即△ y f (x2)— f (x1)A X X2 — X12. 作用：平均变化率用来刻画函数值在区间［X1, X2］上变化的快慢.判断(正确的打“V”，错误的打“X” )(1) 由 A X = X2—X1，知 A X 可以为 0.( )(2) A y= f(x2) — f(X1)是A x = x2— x1相应的改变量，A y的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零 .( )(3)对山坡的上、下两点A，B 中,兰二豊可以近似刻画弯曲山路的陡峭程度.()【答案】(1)X ⑵ 2 (3)V教材整理2函数瞬时变化率阅读教材P27 “练习1”以下至P30 “练习2”以上部分，完成下列问题.A y f (x1)— f (xo)A x x1 — x01. 定义：对于一般的函数y= f(x)，在自变量x从xo变到X1的过程中，若设A x= X1 — xo，A y= f(x1) — f(xo),则函数的平均变化率是f (X0+4 x)— f (xo)当厶x趋于0时，平均变化率就趋于函数在 竺点的瞬时变化率.2. 作用：瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢 .一质点运动规律是s= t2 + 3(s的单位为m, t的单位为s),则在t = 1 s时的 瞬时速度估计是 m/s.As 【解析】 As = s(1 + At) — s(1)= (1 + At)2+ 3— (12+ 3)= 2 At + (At)2，•—=At2At+(At) 2 As—2+At, 当 At 趋于 0 时,~At趋于 2.At A【答案】 2［质疑手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1: 解惑： 疑问2:解惑:［小组合作型］类型1求函数的平均变化率恻 (1)已知函数y— f(x) — x2+ 1，则在x— 2，A x， A y的值为(B..44⑵已知函数f(x) — x + X，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5 入时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快【精彩点拨】 ⑴由Ay—f(x+Ax) — f(x)求 Ay—f (x2)— f (x1)—f(2 + 0.1) — f(2)可得.(2)求 Ax — x2 — x1【自主解答】 ⑴ Ay= f(2 +Ax) — f(2) = f(2.1) — f2— 22 = 0.41.【答案】 B(2)自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为f (2)—f (1)2— 12 +1—( 1 + 1)112；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为f (5)— f (3)1 o 15+1— 3+3145— 3 二 2 二 15.1 14 1因为9<75,所以函数f(x) = x+ x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快2 15 x1. 求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量A x = X2— X1.第二步，求函数值的增量A y=f(X2)— f(X1).Ay f (X2)— f (x1)第三步，求平均变化率 一= .Ax X2— X12. 求平均变化率的一个关注点f (xo+Ax)— f (xo)求点xo附近的平均变化率，可用 的形式.Ax［再练一题］1. 函数y= x2 + 1在［1，1 + A x］上的平均变化率是( )【导学号：94210031】x+ A x+ (Ax)2【解析】 T Ay= (1 + Ax)2 + 1 — (12+ 1) = 2Ax+Ax2,Ay 2 Ax +Ax2= =2+Ax，故选 C.Ax Ax【答案】 C类型2平均变化率的实际应用洌 甲、乙两人走过的路程si(t),s2(t)与时间t的关系如图2-1-1所示, 试比较两人的速度哪个快？图 2-1-1【精彩点拨】 比较相同的时间厶t内，两人走过的路程的平均变化率的大小即可得出结果.【自主解答】 在to处，S1 (to) = S2(to),但 S1(to—At)>S2(to—At),S1 ( to)— S1 (to—At) S2 (to) — S2 (to—At)故 < .At At所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，因此，在如题图所示的整个运动 过程中乙的速度比甲的速度快.1. 本题中比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化 率，通过比较平均变化率的大小关系得出结论.2. 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝 对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上 的变化越慢.［再练一题］2. 某配件生产流水线共有甲、乙两条，产量 S(单位：个)与时间t(单位:天)的关系如图2-1-2所示，则接近to天时，下列结论中正确的是( )图 2-1-2A. 甲的日生产量大于乙的日生产量B. 甲的日生产量小于乙的日生产量C. 甲的日生产量等于乙的日生产量D. 无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小【解析】 由平均变化率的几何意义可知，当接近于to时，曲线乙割线的斜 率大于曲线甲割线的斜率，故乙的日产量大于甲的日产量【答案】 B［探究共研型］探究点瞬时变化率创令美探究1高台跳水运动员相对于水面的高度h与起跳时间t的函数关系h(tt2t65+10,求运动员在0, 49时间内的平均速度为多少?【提示】65卄 65 - h49 — h (0)易知 h 49 — h(0)， v — 65応-0探究2物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态?【提示】，平均速度为0,而运动员一直处于运动状态•探究3如何描述物体在某一时刻的运动状态?【提示】可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态要求物体在to时刻的瞬时速度，设运动方程为s= s(t),可先求物体在(to, toAs s (t0+At) — s (t。
)At+ At)内的平均速度一= ,然后At趋于 0, 得到物体在t0时At刻的瞬时速度.卜例 一辆汽车按规律s= 3t2 + 1做直线运动，估计汽车在t = 3 s时的瞬时速度•(时间单位:s；位移单位：m)【精彩点拨】先求时间从3到3+At时的平均速度，再由At趋于0求得瞬时速度.【自主解答】当时间从3变到3+At时，=3 At + 18,s (3+At)— s (3) 3 (3+At) 2+ 1—( 3X 32+ 1)AtAt当At趋于0时，v趋于常数18.•••这辆汽车在t= 3 s时的瞬时速度为18 m/s.求函数f(x)在点x = X0处的瞬时变化率的步骤:⑴求Ay= f(xo+Ax)— f(xo);(2)计算虫，并化简，直到当A x = 0时有意义为止;Ax(3) 将Ax= 0代入化简后的 空即得瞬时变化率.Ax［再练一题］3. 求函数y=f(x) = 3x D.2 +A x — a x + x在点x二1处的瞬时变化率.94210032】【导学号:【解】 Ay=f(1 + Ax) — f(1)=3(1+Ax)2 + (1 + Ax) — (3 + 1)= 7 Ax + 3( Ax)2.Ay 7Ax + 3 (Ax) 2 • • • = = 7 + 3 Ax.Ax Ax•当&趋于0时，汇7+ 3Ax趋于7+ 3X 0二7.Ax•函数y= 3x2 + x在点x= 1处的瞬时变化率为7.［构建体系］2+A y)，贝U1.在曲线y= x2 + 1的图像上取一点(1，2)及附近一点(1 + A x，)A. A x + 2A xB.A x-Ar2C. A x + 2【解析】△y (1+Ax) 2+ 1 - 2= =2+Ax,故选 C.Ax Ax【答案】 C2.—质点运动的方程为s= 5-3t2,则在一段时间［1 , 1 + A t］内相应的平均速度为（ ）B. — 3A t + 6D. — 3A t — 6【解析】As 5 — 3 (1 + At) 2—( 5 — 3)_ — 6 — 3 At.At_At【答案】3.已知函数尸X，当X,函数的改变量A y=【导学号：94210033】【解析】_ 11.5 2_ 3.Ay_ 2 2【答案】4. 设某产品的总成本函数为 C（x）_ 1 100+ 盖0,其中x为产量数，生产个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为【解析】AC C (1 000)— C (900) 19Ax _ 1 000- 900 _ 12【答案】19125. 在F1赛车中，赛车位移s与比赛时间t存在函数关系s_ 10t+ 5t2（s的单 位为m, t的单位为s）,求：(1)t_20,A tA s 与(2)t _ 20时的瞬时速度.【解】 (1) As_ s(20 +At) — s(20)_ 10(20+ 0.1)+ 5(20+ 0.1)2— 10X 20— 5X 202=1 + 20+ 5X 0.01 = 21.05(m),=210.5(m/s). As⑵V10 (20+At) + 5 (20+At) 2- 10X 20- 5X 202— At=5At+ 210,As当At趋于0时，一趋于210,At所以在t = 20时的瞬时速度为210 m/s.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 。