第二章 第四节 多维随机变量及其分布§2．4 多维随机变量及其分布 在前面几节我们讨论的随机变量，实际上也是一维随机变量，即随机变量是一个实数．但在许多问题中，我们遇到的大多是多维随机变量．例如，我们考察某地区居民的身体健康状况，则样本空间是该地区全体居民，该地区的每一个居民是一个样本点，设表示该地区居民的身高，表示该地区居民的体重，表示该地区居民的肺活量，则、、是三个随机变量，我们称为三维随机变量．同理，我们也可以定义多维随机变量．一．多维随机变量及其分布函数 定义 设E是一个随机试验，是其样本空间，都是上的一维随机变量，则称为上的维随机变量． 当时，我们称为二维随机变量．即有 定义 设E是一个随机试验，是其样本空间， 与 都是上的一维随机变量，则称为上的二维随机变量． 对于以上定义，我们作以下说明： ⑴．我们称二维及以上的随机变量为多维随机变量，或者为多维随机向量； ⑵．我们称维随机变量中每一个为此维随机变量的分量，称为维随机变量的第个分量； ⑶．我们不应把多维随机变量看作是若干个一维随机变量的机械组合，而应把维随机变量看作是一个整体．因为维随机变量中每一个分量之间都是有联系的．我们在开始讨论维随机变量时，更应当注意分量之间的联系． ⑷．我们在讨论维随机变量时，主要讨论二维随机变量．因为二维随机变量的一些性质是有别于一维随机变量的；但二维以上的随机变量的性质与二维随机变量的性质是类似的． 我们讨论维随机变量，首先讨论维随机变量的分布函数． 定义 设是一维随机变量，则对于任意的维实数组，称元函数（图2.7）（图2.8）为维随机变量的分布函数． 为方便起见，我们记为，即因此，维随机变量的分布函数的定义可写为 （2.4.1） 特别地，二维随机变量的分布函数为 （2.4.2） 为了与后面所讲的边缘分布相区别，我们也称为二维随机变量的联合分布函数． 如果我们把二维随机变量看作平面上的随机点，则由（2.4.2）式可知，二维随机变量的分布函数就是二维随机变量落在平面上以为右上顶点、其两条边分别平行于两条坐标轴的无穷矩形中的概率（见图2.7） 设，，则二维随机变量落在以、、、为顶点的矩形（见图2.8）中的概率为 即有 （2.4.3） 下面，我们讨论二维随机变量的分布函数的性质： 性质一 对每一个变量是单调不减的．即 当时，；当时，． 性质二 对每一个变量是右连续的．即 对任意的，；对任意的，． 性质三 对任意的，有 ；对任意的，有；以及二重极限．另外还有极限． 性质四 对任意的，，有 如同一维随机变量的性质一样，二维随机变量分布函数的上述四条性质是二维随机变量分布函数的四条基本性质．即任何二维随机变量的分布函数都具有上述四条性质；反之，用概率论的进一步知识我们还可以证明，如果一个二元函数具有上述四条性质，则此二元函数一定是某一个二维随机变量的分布函数．这里需要指出的是，在上述四条性质中，性质四是独立于其它三条性质之外的．这一点与一维随机变量分布函数的性质是有区别的．二．二维离散型随机变量 在前面两节，我们讨论了一维离散型随机变量和连续型随机变量，并指出它们是两类主要的一维随机变量．在这两段，我们将离散型随机变量与连续型随机变量的概念推广到二维随机变量上来，并讨论它们的性质． 定义 如果二维随机变量只取有限个或可列个值，则称为二维离散型随机变量． 设随机变量的可能取值为随机变量的可能取值为则二维离散型随机变量的可能取值为并设 （2.4.4）我们称（2.4.4）式为二维离散型随机变量的（联合）分布律． 二维离散型随机变量的（联合）分布律也可以写为 …………………………………………………… （2.4.5） 如同一维离散型随机变量的分布律一样，二维离散型随机变量的分布律有如下性质： 性质一 对任意的，有 ； 性质二 ． 设为二维离散型随机变量，其分布律如（2.4.4）所示，是其分布函数，则有 （2.4.6） 例1 掷3枚均匀的硬币，设 ：前两枚硬币出现正面的次数； ：三次抛掷中出现正面的次数与出现反面的次数差的绝对值．试求的联合分布律． 解：的取值为0，1，2；的取值为1，3．且 ， ， ， ， ， ． 写成表格（2.4.5）的形式，得的联合分布律为： 130102 例2 一批产品的一等品率为0.65，二等品率为0.25，其余的为三等品．现从这批产品中任取一件，令 ， ，试求的联合分布律． 解：， ， ， ．由此得的联合分布律为： 0100.100.2510.650 例3 袋中有6只黑球和4只白球，现先后从中各取出一只球，若采用⑴．有放回摸球；⑵．不放回摸球的方式，令 ， ，试就上面的两种方式求出的联合分布律． 解：⑴．若采用有放回的方式摸球，则有 ， ， ， ．由此得的联合分布律为： 0100.160.2410.240.36 ⑴．若采用不放回的方式摸球，则有 ， ， ， ．由此得的联合分布律为： 0101 例4 连续不断地掷一颗均匀的骰子，直到出现小于5点时为止，令表示最后一次出现的点数，表示掷骰子的次数，试求的联合分布律． 解：的取值为1，2，3，4；的取值为1，2，3，… ． 的联合分布律为 123……1……2……3……4……其中 三．二维连续型随机变量 如同一维连续型随机变量的定义一样，我们可以给出二维连续型随机变量的定义如下： 定义 设是二维随机变量，是其分布函数，如果存在一个二元非负可积函数，使得对于任意的，有 （2.4.7）则称是二维连续型随机变量．称为的分布密度函数，或称概率密度函数，简称密度函数． 与一维连续型随机变量密度函数的性质一样，二维连续型随机变量的密度函数有如下基本性质： 性质一 对任意的，有； 性质二 ． 由公式（2.4.7），我们可以得到，对几乎所有的，有 （2.4.8）特别地，上式对于的连续点必须成立． 设是二维连续型随机变量的密度函数，则对平面上的任意区域，有 （2.4.9）即对于二维连续型随机变量来讲，落在平面上区域内的概率，等于的密度函数在该区域上的二重积分． 例5 设二维连续型随机变量的密度函数为试求：⑴．常数；⑵．概率（其中）． 解：⑴．由密度函数的性质二：，我们有 作极坐标变换，则有 ，所以，． ⑵．作极坐标变换，则有 ． 例6 设二维连续型随机变量的密度函数为试求：⑴．常数；⑵．的分布函数；⑶．概率． 解：⑴．由密度函数的性质二：，我们有 所以， ． ⑵．由的密度函数的构造，可知当或者时，当且时， ，即的分布函数为 ． ⑶． ． 例7 设二维连续型随机变量的分布函数为试求的密度函数． 解：由分布函数与密度函数之间的关系（2.4.8），我们有 ． 下面我们介绍两个常见的二维连续型随机变量． 1．二维均匀分布 设是平面上的一个有界区域，其面积为，如果二维连续型随机变量的密度函数为 （2.4.10）则称随机变量服从区域上的均匀分布． 如果随机变量服从区域上的均匀分布，则平面上的随机点等可能地落在区域内，即落在的一个子区域内的概率与子区域的面积成正比，而与的形状以及在内的位置无关． 2．二元正态分布 如果二维连续型随机变量的密度函数为 (2.4.11)其中是常数，，，．则称随机变量服从参数为的二元正态分布，记作注1 ． 我们将在下一章，引入元正态分布的概念，并介绍它的一些简单性质． 下面，我们引进维连续型随机变量的概念： 定义 设是维随机变量，是其分布函数，如果存在一个元非负可积函数，使得对于任意的，有 （2.4.12）则称是维连续型随机变量．称为的分。