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1、9.7 双曲线一、选择题1已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A42 B.1C. D.1解析(数形结合法)因为MF1的中点P在双曲线上，|PF2|PF1|2a，MF1F2为正三角形，边长都是2c，所以cc2a，所以e1，故选D.答案D2. 已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为（ ）A-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1答案A3设双曲线1(a0)的渐近线方程为3x2y0，则a的值为()A4 B3 C2 D1解析双曲线1的渐近线方程为3xa
2、y0与已知方程比较系数得a2.答案C4设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A. B. C2 D3解析设双曲线C的方程为1，焦点F(c,0)，将xc代入1可得y2，所以|AB|222a，b22a2，c2a2b23a2，e.答案B5设F1、F2是双曲线y21的两个焦点，P在双曲线上，当F1PF2的面积为2时，的值为()A2 B3C4 D6解析 设点P(x0，y0)，依题意得，|F1F2|24，SPF1F2|F1F2|y0|2|y0|2，|y0|1，y1，x3(y1)6，(2x0，y0)(2x0，y0)xy43.答
3、案 B6已知双曲线1(a0，b0)的左顶点与抛物线y22px(p0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2，1)，则双曲线的焦距为()A2 B2 C4 D4解析由题意得c.双曲线的焦距2c2.答案B7如图，已知点P为双曲线1右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I为PF1F2的内心，若SIPF1SIPF2SIF1F2成立，则的值为()A. B. C. D.解析 根据SIPF1SIPF2SIF1F2，即|PF1|PF2|F1F2|，即2a2c，即.答案 B二、填空题8双曲线1的右焦点到渐近线的距离是_解析 由题意得：双曲线1的渐近线为yx.焦点(3,0)到
4、直线yx的距离为.答案 9已知双曲线1左、右焦点分别为F1、F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P，且PF1F2，则双曲线的渐近线方程为_解析 根据已知|PF1|且|PF2|，故2a，所以2，.答案 yx10.已知双曲线的两条渐近线均和圆:相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为_c=3,所以b=2,即,所以该双曲线的方程为.答案 11如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A、B为左、右焦点，且双曲线过C、D两顶点若AB4，BC3，则此双曲线的标准方程为_解析设双曲线的标准方程为1(a0，b0)由题意得B(2,0)，C(2,3)，解得双曲线的标准方程为x21.答案x
5、2112已知点(2,3)在双曲线C：1(a0，b0)上，C的焦距为4，则它的离心率为_解析根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a，b的等式，即1，考虑到焦距为4，这也是一个关于c的等式，2c4，即c2.再有双曲线自身的一个等式a2b2c2，这样，三个方程，三个未知量，可以解出a1，b，c2，所以，离心率e2.答案2三、解答题13已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则E的方程解析 设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由题意知c3，a2b29，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：两式作差得：，又
6、AB的斜率是1，所以将4b25a2代入a2b29得a24，b25.所以双曲线的标准方程是1.14求适合下列条件的双曲线方程(1)焦点在y轴上，且过点(3，4)、.(2)已知双曲线的渐近线方程为2x3y0，且双曲线经过点P(，2)解析(1)设所求双曲线方程为1(a0，b0)，则因为点(3，4)，在双曲线上，所以点的坐标满足方程，由此得令m，n，则方程组化为解方程组得a216，b29.所求双曲线方程为1.(2)由双曲线的渐近线方程yx，可设双曲线方程为(0)双曲线过点P(，2)，故所求双曲线方程为y2x21.15设A，B分别为双曲线1(a0，b0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距
7、离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使t，求t的值及点D的坐标解析(1)由题意知a2，一条渐近线为yx，即bx2y0，b23，双曲线的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1x2tx0，y1y2ty0，将直线方程代入双曲线方程得x216x840，则x1x216，y1y212，t4，点D的坐标为(4，3)16已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：0；(3)求F1MF2的面积解析 (1) e，设双曲线方程为x2y2.又双曲线过(4，)点，16106，双曲线方程为x2y26.(2)证明法一由(1)知ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1kMF2，又点(3，m)在双曲线上，m23，kMF1kMF21，MF1MF2，0.法二(32，m)，(23，m)，(32)(32)m23m2.M在双曲线上，9m26，m23，0.(3) F1MF2中|F1F2|4，且|m|，SF1MF2|F1F2|m|46.
