(特效提高)高考数学一轮精品复习 9.6 抛物线题库 理

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1、9.6 抛物线一、选择题1抛物线x2(2a1)y的准线方程是y1,则实数a()A. B. C D解析 根据分析把抛物线方程化为x22y,则焦参数pa,故抛物线的准线方程是y,则1,解得a.答案D2若抛物线y22px(p0)的焦点在圆x2y22x30上,则p()A. B1C2 D3解析 抛物线y22px(p0)的焦点为(,0)在圆x2y22x30上,p30,解得p2或p6(舍去)答案 C3已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切,则p的值为()A. B1 C2 D4解析抛物线y22px(p0)的准线为x,圆x2y26x70,即(x3)2y216,则圆心为(3,0),半径为4;又

2、因抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切,所以34,解得p2.答案C4已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|12,P为C的准线上一点,则ABP的面积为()A18 B24 C36 D48解析如图,设抛物线方程为y22px(p0)当x时,|y|p,p6.又P到AB的距离始终为p,SABP12636.答案C5. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若,则的面积为( ) A B C D答案C6将两个顶点在抛物线y22px(p0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则()An0 Bn1Cn2 Dn3解析结合图象可知,过焦点斜

3、率为和的直线与抛物线各有两个交点,所以能够构成两组正三角形本题也可以利用代数的方法求解,但显得有些麻烦答案C7已知点P是抛物线y22x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A. B3 C. D.解析 依题设P在抛物线准线的投影为P,抛物线的焦点为F,则F.依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP|PF|,则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d|PF|PA|AF|.答案A二、填空题8设抛物线y22px(p0)的焦点为F,点A(0,2)若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为_解析 设抛物线的焦点F,由B为线段F

4、A的中点,所以B,代入抛物线方程得p,则B到该抛物线准线的距离为.答案 9已知动圆过点(1,0),且与直线x1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为_解析设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.答案y24x10已知抛物线y24x的焦点为F,准线与x轴的交点为M,N为抛物线上的一点,且满足|NF|MN|,则NMF_.解析 过N作准线的垂线,垂足是P,则有PNNF,PNMN,NMFMNP.又cosMNP,MNP,即NMF.答案 11设圆C位于抛物线y22x与直线x3所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆C的半径能取

5、到的最大值为_解析依题意,结合图形的对称性可知,要使满足题目约束条件的圆的半径最大,圆心位于x轴上时才有可能,可设圆心坐标是(a,0)(0a3),则由条件知圆的方程是(xa)2y2(3a)2.由消去y得x22(1a)x6a90,结合图形分析可知,当2(1a)24(6a9)0且0a3,即a4时,相应的圆满足题目约束条件,因此所求圆的最大半径是3a1.答案112. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,若则= 。答案三、解答题13在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点在原点,经过点A(2,2),其焦点F在x轴上(1)求抛物线C的标准方程;(2)设直线l是抛物线的准线,求证:以AB为直径的圆与准线l

6、相切解析 (1)设抛物线y22px(p0),将点(2,2)代入得p1.y22x为所求抛物线的方程(2)证明:设lAB的方程为:xty,代入y22x得:y22ty10,设AB的中点为M(x0,y0),则y0t,x0.点M到准线l的距离dx01t2.又AB2x0p12t2122t2,dAB,故以AB为直径的圆与准线l相切14抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135的直线,被抛物线所截得的弦长为8,试求该抛物线的方程解析依题意,设抛物线方程为y22px(p0),则直线方程为yxp.设直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为C、D,

7、则由抛物线定义得|AB|AF|FB|AC|BD|x1x2,即x1x2p8.又A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,由消去y,得x23px0,所以x1x23p.将其代入得p2,所以所求抛物线方程为y24x.当抛物线方程设为y22px(p0)时,同理可求得抛物线方程为y24x.综上,所求抛物线方程为y24x或y24x.【点评】 (1)根据问题的条件,抛物线方程可能是y22px(p0),也可能是y22px(p0),任何一种情况都不要漏掉.(2)要由定“性”和“量”两个方面来确定抛物线的方程.定“性”,即确定开口方向,便于设抛物线的方程.定“量”,即求所设方程中的参数p.15设抛物线

8、y22px(p0)的焦点F,Q是抛物线上除顶点外的任意一点,直线QO交准线于P点,过Q且平行于抛物线对称轴的直线交准线于R点,求证:0.证明y22px(p0)的焦点F准线为x.设Q(x0,y0)(x00),则R,直线OQ的方程为yx,此直线交准线x于P点,易求得P.y2px0,(p,y0)p2p2p20.16如图所示,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程;(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1y2的值及直线AB的斜率解析(1)由已知条件,可设抛物线的方程为y22px(p0)点P(1,2)在抛物线上,222p1,解得p2.故所求抛物线的方程是y24x,准线方程是x1.(2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB,则kPA(x11),kPB(x21),PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,kPAkPB.由A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得y4x1,y4x2,y12(y22)y1y24.由得,yy4(x1x2),kAB1(x1x2)

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