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1、行列式1. 行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等D二DT.性质2推论 1互换行列式的两行（列），行列式变号.如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.b cb cb c性质3中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.aaaaaa111213111213kakaka=kaaa212223212223aaaaaa313233313233行列式的某一行（列）如推论2aaka如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零bcb ckb kc性质 4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.aaaaaaaaa111213111
2、213111213a + aa + aa + a=aaa+ aaa21 2122 222323212223212223aaaaaaaaa313233313233313233如把行列式的某一行（列）性质5值不变.的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的aaaaaa111213111213aaa=aaa212223212223aaaa + kaa + kaa + ka313233311132123313如2. 余子式与代数余子式 在n阶行列式中,把元素a所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素a的余子式,ij ij记作Mi，A ji=(1)i+jMjij叫做
3、元素 a 的代数余子式ijaaa111213aa如aaa ，兀素a的余子式为M =11122122232323aaaaa3132313233aa兀素a的代数余子式为A=(1)2+sM =1112232323aa31323. 行列式按行（列）展开法则定理 1 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即D = a A + a A +i1 i1i 2 i 2+ a A 或 D = a A + a A +in in 1j 1j2 j 2j+a Anj nj(i = 1,2, n;j = 1,2 n)a11aa 1213如aaa=a A + a A + a A21222311
4、1112121313aaa313233定理 2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即a A + a A + a A = 0,或 a A + a A + a A = 0 i H j.i1 j1i2j2in jn1j 1j 2j 2 jnj nj ,(i = 1,2, n;j = 1,2n)4.行列式的计算a（1）二阶行列式iiaa2）三阶行列式aaa111213aaa =aa a + a aa+aaa-aaa-a a a - a a a2122231122 331223 3113 21 321322 3112 21 3311 23 32aaa313233
5、九九11( 3 )对角行列式人2=九九九，2=（-1广m-1）九九九12n12n九九 nnaaaa1111 121naaaa( 4 )三角行列式212222 2na aa1122nn aaaa n1n2nnnnaaaa111,n - 11n1naaaan( n 1 )212,n -12,n -12n=(-1) 2 a aa.-1n 2,n -1n1aaaa n1 n1n2nn2112 = a a - a aa 11 22 12 21225）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.（6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过
6、降低行列式的阶数求出行列式的值.7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行，）再提出公因式，进而求出行列式的值.矩阵1. 常见矩阵1）对角矩阵：主对角线以外的元素全为0的方阵，称为对角矩阵.记作A.2）单位矩阵：主对角线上的元素全为 1 的对角矩阵，称为单位矩阵.记作 E.3)三角矩阵：对角线以下的元素全为 0 的方阵.如厂a11a12a22a、Ina2na丿nn下三角矩阵：对角线以上的元素全为 0 的方阵.如厂a11a21a22an1an2a丿nn5）对称矩阵：设A为n阶方阵，若At = A，即a = aij ji则称A 为对称矩阵.6）反对称矩阵：设A为n
7、阶方阵，若At =-A，即a =- a ，贝卩称A为反对称矩阵. ij ji7）正交矩阵：设A为n阶方阵，如果AAt = E或AtA = E，则称A为正交矩阵.2. 矩阵的加法、数乘、乘法运算（1）矩阵的加法厂abc 厂abc、厂 a + ab + bc + c、如+=j d ef丿& e* d + de + ef + f丿注：只有同型矩阵才能进行加减运算; 矩阵相加减就是对应元素相加减.（2）数乘矩阵厂 a b c、厂 ka kb kc、jdef 丿j kd ke kf 丿注：数乘矩阵就是数乘矩阵中的每个元素.(3)矩阵的乘法：设A = (a丿,B = (b丿j mx sj sxn,规定Ab
8、 = C = (c丿ij mxn其中c = a b + a b + a b =2 a b （i = 1,2 ,m, j = 1,2 ,n.）ij i1 1 j i2 2 jis sjik kjk=1注：左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数； 左矩阵A的第i行与右矩阵B的第/列对应元素乘积的和是矩阵乘积C的元素c .ij 左矩阵A的行数为乘积C的行数，右矩阵B的列数为乘积C的列数. 如行矩阵乘列矩阵是一阶方阵（即一个数），即(a、(a baba b 1111 1111 1211 1sa(bbb )=a baba b2121 1121 1221 1s11 121sV a 丿 V a bab a b 丿
9、s1s1 11s1 12s1 1s即3. 逆矩阵(aa11 12a )1s(b )11b21=a b + a b +ii ii12 21ab1s s1巴丿列矩阵乘行矩阵是s阶方阵,设 n 阶方阵 A、B，1)二阶方阵求逆，设A =，则 A-1 =占 A* =1lAl(dad bc Vc两调一除法).若AB=E或BA=E，则A, B都可逆，且At二B,B t = A(a1/( a 1、1a1a 1(2)对角矩阵的逆2=2Va丿Va 1 丿n、n(a )1/a 11na2=a 12V a丿a 1V n 丿Va11丿3)分块对角阵的逆(AJ1A21( A 1J1A -12vAeVA -1 丿siA 1 2A24)一般矩阵求逆，初等行变换的方法：丿(A E )ert (EA1)4 方阵的行列式 由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变)叫做方阵A的行列式.记作|A|或det (A).5 矩阵的初等变换下面三种变换称为矩阵的初等行(列)变换（1）互换两行（列）；（2）数乘某行（列）；（3）某行（列）的倍数加到另一行
