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1、专题三：不定方程的整数解问题所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些条件限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性地解决问题。在本专题中我们一起来学习不定方程整数解的一些解法技巧。【基础知识】1不定方程整数解的常见类型：（1）求不定方程的整数解；（2）判定不定方程是否有整数解；（3）判定不定方程整数解的个数（有限个还是无限个）。2解不定方程整数解问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解法、配方法、分离整数法、换元法（参数法）等；（2）奇偶分
2、析法：缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（3）构造法：如构造一元二次方程，利用根的判别式和韦达定理等性质；（4）枚举法：列举出所有可能的情况；（5）不等式分析法：通过不等式估算法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（6）无穷递推法。【典型例题分析】一、代数恒等变形1、因式分解法【例1】已知都是整数，且满足，求的最大值.分析：由，得因为都是整数，所以，或，或，或解得，或，或，或故的最大值为25注：一般地，整系数的二次方程，可变形为：分解，得.求整数解时，只需把整数分解成两个整数的积，转化为解几个方程组，（这）来解，通过取舍求出符合题意的整数解。【例2】求方程的整数解.分
3、析：原方程可化为，配方得所以因为和的奇偶性不同得，或，或，或解得：2、配方法【例3】求的非负整数解的组数为（）A、0B、1C、2D、3分析：由，配方得当时，左边当时，左边所以或1当时，代入原方程得当时，代入原方程得或因此共有3组非负整数解.3、分离整数法【例4】已知是整数，满足，则整数的所有可能值有（）个A. 4B.5C.6D.8分析：由，得为整数根据整除性质，可知：，即共6个值.【例5】求的正整数解.解：原方程可化为因为为正整数，且是整数，所以或49，即或48当时，；当时，舍去故所求正整数解4、换元法【例6】已知：为整数，且，求的最大值为.分析：原方程可化为，令，则因为具有相同的奇偶性，且都
4、是正整数.故的最大值为.二、奇偶分析法【例7】证明方程无整数解.分析：不妨设原方程有整数解，因为为偶数，所以具有相同的奇偶性.若都是偶数，令，代入原方程，化简，得，左右奇偶数不同，矛盾。若都是奇数，令，代入原方程，化简，得因为都是偶数，所以上式左边为偶数,右边奇数，矛盾.综上，原方程无整数解。【例8】求的正整数解.分析：显然，不妨设，由于328是偶数，故的奇偶性相同，而328能被4整除，偶数的平方被4除余0，奇数的平方被4余1，所以都是偶数.设，则，由，得，取对应，故只能取，即由的对称性，因此所求正整数解.三、构造法如构造一元二次方程，利用根的判别式和韦达定理等性质进行讨论，且当方程有整数解时
5、，判别式为完全平方式。【例9】已知都是质数，且，求的值.分析：若，则，即；若，则可看作关于的一元二次方程的两个根.由韦达定理，得而都是质数，由，故的值只能是2或11，所以因此，所求的值为2或22.【例10】已知是整数，且满足，求的值。分析：由，可构造以为根的一元二次程根据题意是一个完全平方式，因此存在非负整数，使得，即所以，或，解得，或所以，即，或故所求正整数四、枚举法【例11】方程共有多少个正整数解？分析：当时，此时可取1到，一共个解.又可取1到2008，故原方程一共有个正整数解。注：方程的正整数解个数为：思考：方程的非负整数解共有多少个？五、不等式分析法 利用整数性或不等关系,确定出方程解
6、的范围.【例12】求方程的正整数解. 分析： 对于正整数，由原方程得到因为，所以，解得分别取和,得到和即所求的解为注：本题也可以通过分离整数法进行讨论.【例13】求方程的正整数解为多少组？分析：原方程化为 设,由，得，所以.当时，代入式，得，由，得，所以将及分别代入式，得到所求的解当时，代入式，同样的方法可以推出,方程无整数解. 综上，及的对称性，得到原方程有12组正整数解.六、无穷递推法【例14】试证明方程：无非零整数解.分析：我们只需考虑都是正整数.显然不能都是奇数，或一奇二偶，否则左边为奇数，而右边是偶数，矛盾。若是二奇一偶，不妨设，则方程左边不是4的倍数，而右边是4的倍数，矛盾。因此只
7、能都是偶数，不妨设，代入原方程，得.类似于前面的讨论，可以证明都是偶数。如此继续下去，我们可得到：由于上述过程可以无限地进行下去，因而将无限地增大，即正整数将无限地小下去，这是不可能的。故原命题得证.【针对性训练题】A组1、已知满足，求整数的值.2、方程组的正整数解的组数是（）A.1组B.2组C.3组D.4组3、已知关于的一元二次方程无实数根，求满足条件的正整数的值.4、已知都是整数，且，求的值.5、方程的有序整数解共有组.6、设自然数满足方程，其中，则.7、试确定一切有理数，使得关于的方程有根且只有整数根.B组8、已知都是正整数，且满足，则的值为（）A.10B.12C.14D.169、一直角三角形两直角边均是整数，且满足，试求这个直角三角形的三边长.10、已知：为自然数，且关于的方程至少有一个整数根，则可能的值为.11、已知三个正整数的最大公约数为3，且满足，则.13、已知均为整数，且恒有，则整数.12、已知为整数，且满足，求的值.C组14、已知正整数满足（为正整数），求的值.15、方程的正整数解的组数为组.16、设2010可拆分为四个正整数的平方和，其中，两个数的比为3，另外两个数的比为7，请写出这种拆分的所有方法.17、已知正整数，且满足，求的最小值.18、方程的所有正整数解为.19、求所有的整数对，使得成立.
