《中考数学二轮重难点复习讲义模型06 射影定理模型（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学二轮重难点复习讲义模型06 射影定理模型（解析版）（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 模型介绍1.射影定理定义直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项2.如图在RtABC中，BAC90，AD是斜边BC上的高，有射影定理如下：AD2BDDC；AB2BDBC； AC2CDBC R注意：直角三角形斜边上有高时，才能用射影定理！例题精讲【例1】在矩形ABCD中，BEAC交AD于点E，G为垂足若CGCD1，则AC的长是 解：四边形ABCD是矩形，ABCD1，ABC90，BEAC，AGB90ABC，BAGCAB，ABGACB，AGACAB2（射影定理），即（AC1）AC12，解得：AC或AC（不合题意舍去），即AC的长
2、为，故答案为：【例2】如图：二次函数yax2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若ACBC，则a的值为（）ABC1D2解：设A（x1，0）（x10），B（x2，0）（x20），C（0，t），二次函数yax2+bx+2的图象过点C（0，t），t2；ACBC，OC2OAOB（射影定理），即4|x1x2|x1x2，根据韦达定理知x1x2，a 故选：A【例3】将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD4，DB5，则BC的长是（）A3B8CD2解：连接CA、CD；根据折叠的性质，知所对的圆周角等于CBD，又所对的圆周角是CBA，CBDCBA，ACCD（相等的圆周角所对的弦相等）；CAD是
3、等腰三角形；过C作CEAB于EAD4，则AEDE2；BEBD+DE7；在RtACB中，CEAB，根据射影定理，得：BC2BEAB7963；故BC3故选：A变式训练【变式1】如图，在ABC中，若ABAC，BC2BD6，DEAC，则ACEC的值是9解：如图，在ABC中，若ABAC，BC2BD6，ADBC，CDBD3又DEAC，CEDCDA90CC，CDECAD，即ACECCD29（射影定理）故答案是：9【变式2】如图所示，在矩形ABCD中，AEBD于点E，对角线AC，BD交于O，且BE：ED1：3，AD6cm，则AE cm解：设BEx，因为BE：ED1：3，故ED3x，根据射影定理，AD23x（3
4、x+x），即3612x2，x23；由AE2BEED，AE2x3x；即AE23x2339；AE3【变式3】如图，若抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若OACOCB则ac的值为（）A1B2CD解：设A（x1，0），B（x2，0），C（0，c），二次函数yax2+bx+c的图象过点C（0，c），OCc，OACOCB，OCAB，OACOCB，OC2OAOB（即射影定理）即|x1x2|c2x1x2，令ax2+bx+c0，根据根与系数的关系知x1x2，故ac1，故选：A【变式4】如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AFDE于点F，已知DF5EF5，过C、D、F的O与
5、边AD交于点G，则DG_.解：连接CF、GF，如图：在正方形ABCD中，EADADC90，AFDE，AFDEAD，又DF5EF5，ADCD，在RtAFD中，AF，CDF+ADF90，DAF+ADF90，DAFCDF，四边形GFCD是O的内接四边形，FCD+DGF180，FGA+DGF180，FGAFCD，AFGDFC，AG，DGADAG【变式5】如图，在ABC中，以AC边为直径的O交BC于点D，过点B作BGAC交O于点E、H，连AD、ED、EC若BD8，DC6，则CE的长为2解：AC为O的直径，ADC90，BGAC，BGCADC90，BCGACD，ADCBGC，CGACDCBC61484，连接
6、AE，AC为O的直径，AEC90，AECEGC90，ACEECG，CEGCAE，CE2CGAC84，CE2故答案为2【变式6】如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AEBC交BC于点E，点F在BC的延长线上，且CFBE，连接DF（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接AC，若ACD90，AE4，CF2，求EC和AC的长（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，CFBEBE+CECF+CE，即BCEF，ADEF，ADEF，四边形AEFD是平行四边形，AEBC，AEF90，平行四边形AEFD是矩形；（2）解：如图，CFBE，CF2，BE2，四边形ABCD是平行四边形，AB
7、CD，BACACD90，AEBC，AE2BEEC（射影定理），EC8，AC4 实战演练1如图，在矩形ABCD中，DEAC，垂足为点E若sinADE，AD4，则AB的长为（）A1B2C3D4解：DEAC，ADE+CAD90，ACD+CAD90，ACDADE，矩形ABCD的对边ABCD，BACACD，sinADE，BCAD4，AC5，由勾股定理得，AB3， 故选：C2如图，在矩形ABCD中，BD2对角线AC与BD相交于点O，过点D作AC的垂线，交AC于点E，AE3CE则DE2的值为（）A4B2CD4解：四边形ABCD是矩形，ADC90，ACBD2，AE3CE，AEAC，CEAC，ADC90，DAC
8、+ACD90，DEAC，AEDCED90，ADE+DAC90，ADEACD，ADEDCE，DE2AECE，故选：C3如图，在正方形ABCD内，以D点为圆心，AD长为半径的弧与以BC为直径的半圆交于点P，延长CP、AP交AB、BC于点M、N若AB2，则AP等于（）ABCD解：如图，设点S为BC的中点，连接DP，DS，DS与PC交于点W，作PEBC于点E，PFAB于点F，DPCD2，PSCS1，即DS是PC的中垂线，DCSDPS，DPSDCB90，DS，由三角形的面积公式可得PC，BC为直径，CPB90，PB，PEFB，PFBE，AFABFB，AP故选：B4如图，点P是O的直径BA延长线上一点，P
9、C与O相切于点C，CDAB，垂足为D，连接AC、BC、OC，那么下列结论中：PC2PAPB；PCOCOPCD；OA2ODOP；OA（CPCD）APCD，正确的结论有（）个A1B2C3D4解：PC与O相切于点C，PCBA，PP，PBCPCA，PC2PAPB；OCPC，PCOCOPCD；CDAB，OCPC，OC2ODOP，OAOC，OA2ODOP；APCDOCCPOACD，OAOC，OA（CPCD）APCD，所以正确的有，共4个故选：D5如图，在RtABC中，A90，ABAC8，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FEBE，则CF长 解：作EHBC于H，如图，A90，ABAC8，BCAB16，C
10、45，点E为AC的中点，AECE4，CEH为等腰直角三角形，EHCH4，BH12在RtABE中，BE4，在RtBEF中，EHBF，BE2BHBF，即BF，CFBCBF16故答案为6如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，把ABE沿直线BE翻折，得到GBE，BG的延长线交CD于点FF为CD的中点，连结CG，若点E，G，C在同一条直线上，FG1，则CD的长为 2+2，cosDEC的值为 1解：四边形ABCD是矩形，ABCD，ADBC，BCDAD90，AEBEBC，BCGDEC，由折叠的性质得：BGBA，EGBA90，GEBAEB，CDBG，EBCGEB，BCEC，点E，G，C在同一条直线上，CGF
11、90，CGB180EGB90，F为CD的中点，CFDF，设CFDFx，则BGCD2x，CFGBFC，CFGBFC，CF2FGBF，即x21（1+2x），解得：x1+或x1（舍去），CD2x2+2，DEC+ECD90，GFC+ECD90，DECGFC，cosDECcosGFC1，故答案为：2+2，17如图，在平面直角坐标系中，直线ykx+1分别交x轴，y轴于点A，B，过点B作BCAB交x轴于点C，过点C作CDBC交y轴于点D，过点D作DECD交x轴于点E，过点E作EFDE交y轴于点F已知点A恰好是线段EC的中点，那么线段EF的长是 解：因为AB的解析式为ykx+1，所以B点坐标为（0，1），A点坐标为（，0），由于图象过一、二、三象限，故k0，又因为BCAB，BOAC，所以在RtABC中，BO2AOCO，代入数值为：1CO，COk，同理，在RtBCD中，CO2BODO，代入数值为：k21DO，DOk2又因为A恰好是线段EC的中点，所以B为FD的中点，OF1+1+k2，RtFED中，根据射影定理，EO2DOOF，即（k+）2k2（1+k2+1），整理得（k）（k+）（k2+2）（k2+1）0，解得k根据中位线定理，EF2GB2DC，
