《中考数学二轮重难点复习讲义模型31 正、余弦定理与正弦面积公式(解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学二轮重难点复习讲义模型31 正、余弦定理与正弦面积公式(解析版）（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 模型介绍R正弦定理：三角形ABC的三边长分别为a、b、c，其分别对应A、B、C；则有R余弦定理：在ABC中，余弦定理可以表示为：a2b2+c22bccosAb2a2+c22accosBc2a2+b22abcosCR正弦面积公式：SABCabsinCbcsinAacsinB例题精讲【例1】如图，XOY45，一把直角三角尺ABC的两个顶点A、B分别在OX，OY上移动，其中AB10，则点O到顶点A的距离的最大值为 10，点O到AB的距离的最大值为 5+5解：作OAB的外接圆，如图，当ABO90，ABO是等腰直角三角形时，点O到顶点A的距离最大则OAAB10点O到AB的距离的最大值为5+5故答案是：
2、10，5+5变式训练【变式1-1】以O为圆心，1为半径作圆ABC为O的内接正三角形，P为弧AC的三等分点，则PA2+PB2+PC2的值为 6解：以O为圆心，1为半径作圆，ABC为O的内接正三角形，BACABC60，ABACBC，APBACB60，BPCBAC60，P为弧AC的三等分点，ABPABC20，PBC40，PACPBC40，PABBAC+PAC100，2，PA2sin20，PB2sin100，PC2sin40，PA2+PB2+PC24sin220+sin280+sin2404+4cos（6020）+cos20cos（60+20）6故答案为：6【变式1-2】如图，A，B是海面上位于东西方
3、向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？解：由题意知AB5（3+）海里，DBA906030，DAB45，ADB105，在DAB中，由正弦定理得，DB，10（海里），又DBCDBA+ABC30+（9060）60，BC20海里，在DBC中，由余弦定理得CD2BD2+BC22BDBCcosDBC300+120021020900，CD30（海里），则需要的时间t1（小时）答：救援船到达D点需要1小时【例2】如图，在ABC中，BAC45
4、，ADBC，垂足为D，BD3，CD2，求AD的长解：设ADx（x0）ADBC于D，BD3，CD2，AC，AB；又在ABC中，BAC45，BC2AC2+AB22ACABcos45，即25x2+4+x2+92，解得x6，AD6变式训练【变式2-1】在四边形ABCD中，ABBCCD26，AD30，AC，BD交于点O，AOB60求S四边形ABCD506解：设BOx，AOy，COa，DOb，由余弦定理，得由（+）（+）得：ax+by+ab+xy2024所以S四边形ABCDxysin60+axsin120+absin60+bysin60xy+ax+ab+by（ax+by+ab+xy），所以故答案是：506
5、【变式2-2】如图，圆内接四边形ABCD中，AC平分BD，AC，求AB2+BC2+CD2+AD2的值解：，AC平分BD，BPDP，SABCSADC，ABC+ADC180，sinADCsinABC，cosADC+cosABC0，ABBCADCD，即AB2+BC2+AD2+CD210 1若ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC5：11：13，则ABC（）A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解：ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC5：11：13，由正弦定理可设a5k，b11k，c13k，由余弦定理得：cosC0，C是钝角，
6、ABC是钝角三角形，故选：C2如图，点D是ABC的边BC上一点，如果ABAD2，AC4，且BD：DC2：3，则ABC是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D锐角三角形或直角三角形解：方法1：过A作AE垂直BC于E，令BD2xCD3x 则BC5x，ABAD2，BEx，cosB，AC2AB2+BC22ABBCcosB 即164+25x210x2，解得，x，ABC用余弦定理BC2AB2+AC22ABACcosA 即204+1616cosA，cosA0，A90方法2：过点D作AB平行线交AC于E，因此很容易得到DE：ABCE：CACD：CB3：5，那么DE1.2；AD2，AE1.6，由勾股定理得A
7、ED构成一个直角三角形，即ABC是直角三角形故选：B 3在ABC中，B45，AC2，则ABC面积的最大值为（）A2B+1C2D解：B45、AC2，由余弦定理cosB得：，aca2+c242ac4，即（2）ac4（当且仅当ac时取等号），ac2（2+）4+2，ABC的面积SacsinB（4+2）1+，则ABC的面积的最大值为1+，故选：B4ABC中，BC2，设P为BC边上任一点，则（）APA2PBPCBPA2PBPCCPA2PBPCDPA2与PBPC的大小关系并不确定解：如图，设BPx，PC2x，在ABC中，由余弦定理，有，在ABP中，由余弦定理，有PA2AB2+BP22ABBPcosB，PA2
8、x25x+8，而PBPCx（2x）2xx2，令yPA2PBPCx25x+82x+x2，PA2PBPC故选：C5圆内接四条边长顺次为5、10、11、14，则这个四边形的面积为（）A78.5B97.5C90D102解：设AB5，BC10，CD11，AD14，52+142102+112，BD2AB2+AD2BC2+CD2，AC90，S四边形ABAD+BCCD57+51190故选：C6如图，点1为单位正方形内一点，且AEBEAB，延长AE交CD于F，作FGAB于点G，则EG的长度为（）ABCD解：如右图所示，AEBEAB，ABE是等边三角形，EABEBAAEB60，又FGAB，AGF90，AFG30，
9、AF，EFAFAE1，在EFG中，EG2EF2+FG22EFFGcos30，EG（作EHFG，求出EH，GH，利用勾股定理即可解决问题）故选：D7设ABC的三边为a，b，c且（b+c）：（c+a）：（a+b）4：5：6，则sinA：sinB：sinC7：5：3解：由已知，设（k0），得 b+c4k， c+a5k， a+b6k，三式相加，得a+b+ck，ak，bk，ck，sinA：sinB：sinCa：b：c7：5：38已知在ABC中，有一个角为60，周长为20，则三边长分别为 5，7，8解：在ABC中，不妨设A60由题意，可得，解得a7，b5，c8或a7，b8，c5，所以，ABC三边长分别为5
10、，7，8故答案为：5，7，89已知直角三角形ABC中，C90，BC6，CA3，CD为C的角平分线，则CD解：令CDx，由正弦定理可知：SABC93xsin45+6xsin45，故x故答案为：210在ABC中，BAC45，ADBC于D，BD3，CD2，那么AD的长是 6解：设ADx（x0）ADBC于D，BD3，CD2，AC，AB；又在ABC中，BAC45，BC2AC2+AB22ACABcos45，即25x2+4+x2+92，解得x6故答案是：611在ABC中，C3A，AB48，BC27，则AC35解：作CD交AB于D，使ACDA，由已知得BCD2A，又因BDCA+ACD2A，所以BCDBDC，B
11、DCB27，CDADABBD21，在CBD和ABC中，由余弦定理，得：，解得：AC35故答案为：3512如图，在ABC中，A45，点D为AC中点，DEAB于点E，BEBC，BD，则AC的长为 4解：设AEx（x0），BEBCy（y0），A45，DEAB，AEDEx，在RtBDE中，BD2BE2+DE2，即x2+y287，在RtADE中，ADx，又D为AC中点，AC2x，在ABC中，由余弦定理得：BC2AB2+AC22ABACcosA，即y2（x+y）2+8x22（x+y）2x，整理得：5x22xy0，解得：yx，将代入得：x2，AC2x4故答案为：413在ABC中，AB2，BCa，C60，如果
12、对于a的每一个确定的值，都存在两个不全等的ABC，那么a的取值范围是 2a4解：法一：由正弦定理得：，即，再sinA，由题意得：当60A120时，满足条件的ABC有两个，所以1，解得2a4；法二：由题，对于a的每一个确定的值，都要存在两个不全等的ABC，例如下图所示，在BC为定值时，存在两个不全等的ABC与ABC，两个不全等的ABC中其中一个是锐角三角形，其中一个是钝角三角形（CAB为钝角），当ABC为锐角三角形时，假设0A60，如下图所示，在图中无法以BC边为定值，再画出另一个不全等的ABC，当ABC为锐角三角形时，假设A60，如下图所示，ABC为等边三角形，在图中也无法以BC边为定值，再画出另一个不
