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1、极坐标与参数方程的题型与方法2二、点到直线的距离型 类型1、定点与定直线(直线方程为普通方程)、已知直线参数方程为,圆的参数方程为,则圆心到直线的距离为_【解析】将参数方程转化为一般方程: 所以圆心为,到直线的距离为: 【答案】 、以直角坐标系的原点为极点,轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,在两种坐标系中取相同的单位长度,点的极坐标为,曲线的参数方程为,则曲线上的点到点距离的最大值为_【解析】,故曲线上距离最远的距离为到圆心的距离加上半径,故 【答案】 、已知在平面直角坐标系中圆的参数方程为:,以为极轴建立极坐标系,直线极坐标方程为,则圆截直线所得弦长为_【解析】圆的方程为:,对于直线方程,无法
2、直接替换为,需构造再进行转换: 再求出弦长即可: 【答案】 、在极坐标系中,直线与曲线相交于两点,且,则实数的值为_【解析】先将直线与曲线转化为直角坐标方程:,可得,曲线,所以问题转化为直线与圆相交于,且,利用圆与直线关系可求得圆心到直线距离即,解得或 【答案】或、(16年北京卷理数)在极坐标系中,直线与圆交于A,B两点,则_.【解析】分别将直线方程和圆方程化为直角坐标方程:直线为过圆圆心,因此,故填:. 【答案】2、(16年全国卷) 在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25。(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程。(2)直线l的参数方程是 (
3、t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.【解析】(1)整理圆的方程得x2+y2+12x+11=0,由可知圆C的极坐标方程为2+12cos+11=0.(2)由题意可得直线过原点且斜率存在,记直线的斜率为k,则直线的方程为,由垂径定理及点到直线距离公式知:,即,整理得,则。方法二,因为直线l过原点,设直线l的极坐标方程为,交点A,B对应的极经为,且是方程2+12cos+11=0的两个根,于是,则,化简得,则,所以。、(16年江西师大附中高三测试)已知曲线C的参数方程为 (t为参数)。C在点处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 (1)求l的极坐标方程;
4、(2)过点任作一直线交曲线C于A,B两点,求的最小值.【解析】(1);曲线的普通方程为,其在点处的切线的方程为,对应的极坐标方程为,即。(2)曲线的方程可知曲线为圆心在原点,半径为的圆。设圆心到直线的距离为,则可得,。由分析可知,。类型2、曲线上的动点与定直线、(19年全国卷理数)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数)以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为(1)求C和l的直角坐标方程; (2)求C上的点到l距离的最小值【解析】(1)由得:,又,整理可得的直角坐标方程为:,又,的直角坐标方程为:(2)设上点的坐标为:,则上的点到直线的距离:当时,取
5、最小值,则。、(14年全国卷)已知曲线:,直线:(为参数).()写出曲线的参数方程,直线的普通方程;()过曲线上任一点作与夹角为的直线,交于点,求的最大值与最小值。【解析】()根据椭圆的方程,可得 ,直线的普通方程为:。 ()设曲线上任一点,那么到直线的距离是、(16年全国卷)在直角坐标系中,曲线的参数方程为,以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为(I)写出的普通方程和的直角坐标方程;(II)设点在上,点在上,求的最小值及此时的直角坐标.【解析】()的普通方程为,的直角坐标方程为. ()由题意,可设点的直角坐标为,因为是直线,所以的最小值即为到的距离的最小值,.
6、 当且仅当时,取得最小值,最小值为,此时的直角坐标为。 、(19届山东省郓城一中高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点M的极坐标为,直线l的极坐标方程为(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程;(2)若N是曲线C上的动点,P为线段MN的中点,求点P到直线l的距离的最大值【答案】(1),;(2)【解析】(1)因为直线l的极坐标方程为,即sincos40由xcos,ysin,可得直线l的直角坐标方程为xy40将曲线C的参数方程,消去参数a,得曲线C的普通方程为(2)设N(,sin),0,2)点M
7、的极坐标(,),化为直角坐标为(2,2)则所以点P到直线l的距离,所以当时,点M到直线l的距离的最大值为、(17年全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的参数方程为,(t为参数).(1)若,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.【解析】(1)曲线的普通方程为.当时,直线的普通方程为.由解得或从而与的交点坐标为,.(2)直线的普通方程为,故上的点到的距离为.当时,的最大值为.由题设得,所以;当时,的最大值为.由题设得,所以.综上,或.四、过原点(极点)的动直线(一般要用极坐标解决问题) 题型1、过极点的一条直线相关问题、(15新课标1卷)在直角
8、坐标系中,直线:=2,圆:,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.()求,的极坐标方程;()若直线的极坐标方程为,设与的交点为, ,求的面积. 【解析】()因为,的极坐标方程为,的极坐标方程为。 ()将代入,得,解得=,=,|MN|=|=,因为的半径为1,则的面积为=。、(15高考新课标2卷)在直角坐标系中,曲线(为参数,),其中,在以为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线,曲线()求与交点的直角坐标;()若与相交于点,与相交于点,求的最大值【解析】()曲线的直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为联立解得或所以与交点的直角坐标为和()曲线的极坐标方程为,其中因此得到极坐标为,的极坐
9、标为所以,当时,取得最大值,最大值为、(16年河南八市高三三模)在极坐标系中,已知曲线,过极点作射线与曲线交于点,在射线上取一点,使.(1)求点的轨迹的极坐标方程;(2)以极点为直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立直角坐标系,若直线与(1)中的曲线相交于点(异于点),与曲线(为参数)相交于点,求的值.【解析】()设,则,又,为所求C1的极坐标方程 ()C2的极坐标方程为,把代入C2得,把代入C1得,【说明】对比上题,可以发现:用极坐标求两点间距离,一定要在草稿纸上画图,弄清楚位置再算,上题是而本题是。 、(16年全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a0)在以坐标原
10、点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos。(I)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(II)直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a。【答案】(I)圆,(II)1【解析】() (t为参数),所以.所以C1为以(0,1)为圆心,a为半径的圆。因为x2+y2=2,y=sin,所以,即为C1的极坐标方程。()因为C2:=4cos,两边同乘,得2=4cos,2=x2+y2,cos=x,x2+y2=4x。即.C3:化为普通方程为y=2x,由题意:C1和C2的公共方程所在直线即为C3。:,即为C3,由于直线过原点,所以,所以a
11、 =1。解法二,曲线C1和C2的公共点的极坐标满足方程组,若,得,又因为tan=2,所以,可得a =1。题型2、过极点的两条射线相关问题、以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.()求圆的直角坐标方程;()为极点, 为圆上的两点,且,求的最大值【解析】()圆的极坐标方程为,又,圆的直角坐标方程为. ()不妨设的极角为,的极角为,则,当时,取得最大值 【说明】我们只是以,为例,其实,这样的变形的题目很多,比如课本,人教版教材习题P15-6,就是计算,学会举一反三、在直角坐标系中,直线的方程是,圆的参数方程是(为参数),以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系()求直线和
12、圆的极坐标方程;()已知射线(其中)与圆交于,两点,射线与直线交于点,若,求的值【解析】()将,代入直线的方程,得到直线的极坐标方程是,即。圆的普通方程是,所以圆的极坐标方程是。()由题意得,则,解得,又因为,所以。、(19届开封市高三上学期第一次模拟考试数学】在直角坐标系中,直线的参数方程是(t为参数),曲线的参数方程是(为参数),以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线和曲线的极坐标方程;(2)已知射线(其中)与曲线交于两点,射线与直线交于点,若的面积为1,求的值和弦长【答案】(1),;(2)【解析】(1)直线的普通方程为,极坐标方程为,曲线的普通方程为,极坐标方程为(2)依题意,1