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1、极坐标与参数方程的题型与方法2二、点到直线的距离型 类型1、定点与定直线（直线方程为普通方程）、已知直线参数方程为，圆的参数方程为，则圆心到直线的距离为_【解析】将参数方程转化为一般方程： 所以圆心为，到直线的距离为： 【答案】 、以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点的极坐标为，曲线的参数方程为，则曲线上的点到点距离的最大值为_【解析】，故曲线上距离最远的距离为到圆心的距离加上半径，故 【答案】 、已知在平面直角坐标系中圆的参数方程为：，以为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为，则圆截直线所得弦长为_【解析】圆的方程为：，对于直线方程，无法
2、直接替换为，需构造再进行转换： 再求出弦长即可： 【答案】 、在极坐标系中，直线与曲线相交于两点，且，则实数的值为_【解析】先将直线与曲线转化为直角坐标方程：，可得，曲线，所以问题转化为直线与圆相交于，且，利用圆与直线关系可求得圆心到直线距离即，解得或 【答案】或、（16年北京卷理数）在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则_.【解析】分别将直线方程和圆方程化为直角坐标方程：直线为过圆圆心，因此，故填：. 【答案】2、（16年全国卷) 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x+6)2+y2=25。(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程。(2)直线l的参数方程是 (
3、t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|=，求l的斜率.【解析】(1)整理圆的方程得x2+y2+12x+11=0，由可知圆C的极坐标方程为2+12cos+11=0.(2)由题意可得直线过原点且斜率存在，记直线的斜率为k，则直线的方程为，由垂径定理及点到直线距离公式知：，即，整理得，则。方法二，因为直线l过原点，设直线l的极坐标方程为，交点A，B对应的极经为，且是方程2+12cos+11=0的两个根，于是，则，化简得，则，所以。、（16年江西师大附中高三测试）已知曲线C的参数方程为 (t为参数)。C在点处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 （1）求l的极坐标方程；
4、（2）过点任作一直线交曲线C于A，B两点，求的最小值.【解析】（1）；曲线的普通方程为，其在点处的切线的方程为，对应的极坐标方程为，即。（2）曲线的方程可知曲线为圆心在原点，半径为的圆。设圆心到直线的距离为，则可得，。由分析可知，。类型2、曲线上的动点与定直线、（19年全国卷理数）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值【解析】（1）由得：，又，整理可得的直角坐标方程为：，又，的直角坐标方程为：（2）设上点的坐标为：，则上的点到直线的距离：当时，取
5、最小值，则。、（14年全国卷）已知曲线：，直线：（为参数）.（）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值。【解析】（）根据椭圆的方程，可得 ，直线的普通方程为：。 （）设曲线上任一点，那么到直线的距离是、（16年全国卷）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；（II）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.【解析】（）的普通方程为，的直角坐标方程为. （）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.
6、 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为。 、（19届山东省郓城一中高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为，直线l的极坐标方程为（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若N是曲线C上的动点，P为线段MN的中点，求点P到直线l的距离的最大值【答案】（1），；（2）【解析】（1）因为直线l的极坐标方程为，即sincos40由xcos，ysin，可得直线l的直角坐标方程为xy40将曲线C的参数方程，消去参数a，得曲线C的普通方程为（2）设N（，sin），0，2）点M
7、的极坐标（，），化为直角坐标为（2，2）则所以点P到直线l的距离，所以当时，点M到直线l的距离的最大值为、（17年全国卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）.（1）若，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a.【解析】（1）曲线的普通方程为.当时，直线的普通方程为.由解得或从而与的交点坐标为，.（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为.当时，的最大值为.由题设得，所以；当时，的最大值为.由题设得，所以.综上，或.四、过原点（极点）的动直线（一般要用极坐标解决问题） 题型1、过极点的一条直线相关问题、（15新课标1卷）在直角
8、坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（）求，的极坐标方程；（）若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积. 【解析】（）因为，的极坐标方程为，的极坐标方程为。 （）将代入，得，解得=，=，|MN|=|=，因为的半径为1，则的面积为=。、（15高考新课标2卷）在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线（）求与交点的直角坐标；（）若与相交于点，与相交于点，求的最大值【解析】（）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为联立解得或所以与交点的直角坐标为和（）曲线的极坐标方程为，其中因此得到极坐标为，的极坐
9、标为所以，当时，取得最大值，最大值为、（16年河南八市高三三模）在极坐标系中，已知曲线，过极点作射线与曲线交于点，在射线上取一点，使.（1）求点的轨迹的极坐标方程；（2）以极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系，若直线与（1）中的曲线相交于点（异于点），与曲线（为参数）相交于点，求的值.【解析】()设，则,又,为所求C1的极坐标方程 ()C2的极坐标方程为,把代入C2得，把代入C1得,【说明】对比上题，可以发现：用极坐标求两点间距离，一定要在草稿纸上画图，弄清楚位置再算，上题是而本题是。 、（16年全国卷）在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a0）在以坐标原
10、点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：=4cos。（I）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线C3的极坐标方程为，其中满足tan=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a。【答案】（I）圆,（II）1【解析】() (t为参数),所以.所以C1为以(0,1)为圆心，a为半径的圆。因为x2+y2=2，y=sin，所以，即为C1的极坐标方程。（）因为C2:=4cos，两边同乘，得2=4cos，2=x2+y2，cos=x，x2+y2=4x。即.C3：化为普通方程为y=2x，由题意：C1和C2的公共方程所在直线即为C3。：，即为C3，由于直线过原点，所以，所以a
11、 =1。解法二，曲线C1和C2的公共点的极坐标满足方程组，若，得，又因为tan=2，所以，可得a =1。题型2、过极点的两条射线相关问题、以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（）求圆的直角坐标方程；（）为极点， 为圆上的两点，且，求的最大值【解析】（）圆的极坐标方程为，又，圆的直角坐标方程为. （）不妨设的极角为，的极角为，则，当时，取得最大值 【说明】我们只是以，为例，其实，这样的变形的题目很多，比如课本，人教版教材习题P15-6，就是计算，学会举一反三、在直角坐标系中，直线的方程是，圆的参数方程是（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（）求直线和
12、圆的极坐标方程；（）已知射线（其中）与圆交于，两点，射线与直线交于点，若，求的值【解析】（）将，代入直线的方程，得到直线的极坐标方程是，即。圆的普通方程是，所以圆的极坐标方程是。（）由题意得，则，解得，又因为，所以。、（19届开封市高三上学期第一次模拟考试数学】在直角坐标系中，直线的参数方程是（t为参数），曲线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）已知射线（其中）与曲线交于两点，射线与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长【答案】（1），；（2）【解析】（1）直线的普通方程为，极坐标方程为，曲线的普通方程为，极坐标方程为（2）依题意，1
