《中考数学二轮重难点复习讲义模型38 梅涅劳斯定理、塞瓦定理（原卷版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学二轮重难点复习讲义模型38 梅涅劳斯定理、塞瓦定理（原卷版）（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 R梅涅劳斯定理：任何一条直线截三角形的各边，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积当直线交三角形ABC三边所在直线BC、AB、AC于D、E、F点时，则有AEBDCFEBCDAFR塞瓦定理：塞瓦定理是指在ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 BDCEAFDCEAFB声例题精讲考点一：梅涅劳斯定理【例1】如图，等边ABC的边长为2，F为AB中点，延长BC至D，使CDBC，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为 变式训练【变式1-1】如图，D、E、F内分正ABC的三边AB、BC、AC均为1：2两部分，AD、BE、CF相交成的PQR的面积是ABC的面积的（）
2、ABCD【变式1-2】梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有1下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A作AGBC，交DF的延长线于点G，则有任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；（2）如图（3），在ABC中，ABAC13，BC10，点D为BC的中点，点F在AB上，且BF2AF，CF与AD交于点E，则AE 考点二：塞瓦定理【例2】如图：P，Q，R分别是ABC的BC，CA，AB边上的点若AP，
3、BQ，CR相交于一点M，求证：变式训练【变式2-1】请阅读下列材料，并完成相应任务如图，塞瓦定理是指在ABC内任取一点O，延长AO，BO，CO分别交对边D，E，F于，则1任务：（1）当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；（2）若ABC为等边三角形，AB12，AE4，点D是BC边的中点，求BF的长【变式2-2】请阅读下列材料，并完成相应任务 塞瓦定理定理内容：如图1，塞瓦定理是指在ABC内任取一点O，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学
4、以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用任务解决：（1）如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；（2）若ABC为等边三角形（如图3），AB12，AE4，点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出BOF的面积 1如图，在ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AEAB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则（）AB2CD2如图，在ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD与BE相交于点G，若AG：GD4：1，BD：DC2：3，则AE：EC的值是（）ABCD3如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD边上一点射线CF交AB于点E，且，则等于 4如图，在
5、ABC中，点D是AB边上的一点，且AD3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若ACDBED45，且CD6，则AB的长为 5如图，在ABC中，ACB90，AC8，BC16，AD是边BC的中线，过点C作CEAD于点E，连接BE并延长交AC于点F，则AD的长是 ，EF的长是 6如图，ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC3：2：1，M在AC边上，CM：MA1：2，BM交AD、AE于H、G，则BH：HG：GM等于 7如图，ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F若ABa，ADc，BEb，则BF 8在ABC中，ACB90，ACBC，AM为BC边上的中线
6、，CDAM于点D，CD的延长线交于点，求的值9如图，在ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BEEFFC，求BN：NQ：QM的值10如图，ABC中，ACB90，CDAB于点D，E为BC上一点，AE交CD于点F，EHAB于点H，若CF2FD，EH，求CEBE的值11如图，ABC中，ADBC于点D，E是AB上一点，连接DE，2C+BDE180（1）求证：BDE2CAD；（2）若ACBD，AEDACB，求证BE2CD；（3）若AEkBE，BDmCD，则的值为 （用含m，k的式子表示）12如图1，RtABC中，BAC90，AD是中线，BEAD，垂足为E，点F在AD上，ACFDBE（1）求证
7、：ABDCFD；（2）探究线段AF，DE的数量关系，并证明你的结论；（3）如图2，延长BE交CF于点P，ABAF，求的值13如图1，ABC中，ABAC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DEDC，点F是DE与AC的交点，且DFFE （1）图1中是否存在与BDE相等的角？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由； （2）求证：BEEC； （3）若将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”和“点F是DE与AC的交点，且DFFE”分别改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”和“点F是ED的延长线与AC的交点，且DFkFE”，其他条件不变（如图2）当AB1，ABCa时，求BE的长（用含k、a的
8、式子表示）14阅读以下材料，并按要求完成相应的任务塞瓦（GiovanniCeva，16481734）意大利水利工程师，数学家，塞瓦定理载于1678年发表的直线论一书，塞瓦定理是指如图1，在ABC内任取一点O，延长AO，BO，CO分别交对边于D，F，E，则下面是该定理的部分证明过程：如图2，过点A作BC的平行线分别交BE，CF的延长线于点M，N则NFCB，NAFFBCNAFCBF同理可得NOACOD任务一：（1）请分别写出与MOA，MEA相似的三角形；（2）写出由（1）得到的比例线段；任务二：结合和（2），完成该定理的证明；任务三：如图3，ABC中，ACB90，AC4，BC3，CDAB，垂足为D
9、，点E为DC的中点，连接AE并延长，交BC于点F，连接BE并延长，交AC于点G小明同学自学了上面定理之后解决了如图3所示的问题，并且他用所学知识已经求出了BF与FC的比是25：16，请你直接写出ECG与EAG面积的比15问题提出如图（1），在ABC中，ABAC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DEDB，延长ED交AB于点F，探究的值问题探究（1）先将问题特殊化如图（2），当BAC60时，直接写出的值；（2）再探究一般情形如图（1），证明（1）中的结论仍然成立问题拓展如图（3），在ABC中，ABAC，D是AC的中点，G是边BC上一点，（n2），延长BC至点E，使DEDG，延长ED交AB于点F直
10、接写出的值（用含n的式子表示）16阅读下面材料，完成（1）（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，ABC中，BAC90，点D、E在BC上，ADAB，ABkBD（其中k1）ABCACB+BAE，EAC的平分线与BC相交于点F，BGAF，垂足为G，探究线段BG与AC的数量关系，并证明同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现BAE与DAC相等”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段BG与AC的数量关系”老师：“保留原题条件，延长图1中的BG，与AC相交于点H（如图2），可以求出的值”（1）求证：BAEDAC；（2）探究线段BG与AC的数量关系（用含k的代数式表示），并证明；（3）直接写出的值（用含k的代数式表示）
