《中考数学二轮重难点复习讲义模型29 圆内最大张角之米勒角问题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学二轮重难点复习讲义模型29 圆内最大张角之米勒角问题（解析版）（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 模型介绍故事背景：米勒问题和米勒定理1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”.米勒问题：已知点A，B是MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题米勒定理：已知点AB是MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C
2、时，ACB最大.证明：如图1，设C是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为ACB是圆外角，ACB是圆周角，易证ACB小于ACB，故ACB最大。 米勒定理在解题中的应用常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。例题精讲【例1】平面直角坐标系内，已知点A（1，0），B（5，0），C（0，t）当t0时，若ACB最大，则t的值为（）ABCD解：如图，作过A、B两点的M与y轴
3、相切于点C，ACBAPB，APBACB，ACBACB，M与y轴相切于点C时，ACB最大如图，作MHAB，连接OM、MA、MB，M与y轴相切于点C，OCM90，A（1，0），B（5，0），AB4，MHAB，AHAB2，OH1+23，MCMAMB3， 故选：C 变式训练【变式1-1】如图，在正方形ABCD中，边长为4，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，当DPM的度数最大时，则BP42解：作PMD的外接圆，则圆心O在DM的中垂线上移动，DOM2DPM，当DOM最大时，DPM最大，当O与BC相切时，DOM最大，M是CD的中点，CD4，CMDM2，连接OP，则OPBC，C90，ONCD，四边形OPC
4、N是矩形，OPNC2+13OM，在RtMON中，由勾股定理得，ON2，即PC2，BPBCPC42，故答案为：42【变式1-2】如图，AOB60，M，N是OB上的点，OM4，MN（1）设O过点M、N，C、D分别是MN同侧的圆上点和圆外点求证：MCNMDN；（2）若P是OA上的动点，求MPN的最大值（1）证明：当C在MD上或在MC上时，如图，显然MCNMDN（三角形的外角大于不相邻的内角），当C不在MD上或在MC上时，如图，设MD与圆交于E点，连接NE，则MENMCN（同弧上的圆周角相等），而MENMDN，MCNMDN；（2）解：设过M、N作圆F与OA相切于点Q，由（1）知：MQN即为所求角，作M
5、N的垂直平分线分别交OA、OB于G、H，则圆心F在GH上，设FQFMr，AOB60，OHG90，OGH30，FG2r，HF，则GH，解得r，则MQNMFN30，MPN的最大值为30【例2】在直角坐标系中，给定两点M（1，4），N（1，2），在x轴的正半轴上，求一点P，使MPN最大，则P点的坐标为 （1，0）解：过点M、N、P三点的圆的圆心在线段MN的中垂线：yx+3上，MPN为弦MN所对应的圆周角，当圆的半径最小时有MPN最大，P在x轴上运动，当圆与x轴相切时，圆的半径最小，即此时MPN最大设此时P点坐标为：（p，0），则圆心Q的坐标为（p，p+3），MQPQ，（1p）2+（p+1）2（3p）
6、2，解得：p1或p6（舍），P点坐标为（1，0），故答案为：（1，0）变式训练【变式2-1】如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走已知AOB30，MN2OM40m，当观景视角MPN最大时，游客P行走的距离OP是 20米解：如图，取MN的中点F，过点F作FEOB于E，以直径MN作F，MN2OM40m，点F是MN的中点，MFFN20m，OF40m，AOB30，EFOB，EF20m，OEEF20m，EFMF，又EFOB，OB是F的切线，切点为E，当点P与点E重合时，观景视角MPN最大，此时OP20m，故答案为：20【变式2-2】如图，在矩形ABCD中，AB6，AD8，
7、点E，F分别是边CD，BC上的动点，且AFE90（1）证明：ABFFCE；（2）当DE取何值时，AED最大 （1）证明：四边形ABCD是矩形，BC90，AFE90，AFB+EFC90，EFC+FEC90，AFBFEC， ABFFCE（2）取AE的中点O，连接OD、OFAFEADE90（对角互补），A、D、E、F四点共圆，AEDAFD，当O与BC相切时，AFD的值最大，易知BFCF4，ABFFCE，EC，DEDCCE6 当DE时，AED的值最大 1在平面直角坐标系中，点A（0，2）、B（a，a+2）、C（b，0）（a0，b0），若AB4且ACB最大时，b的值为（）A2+2B2+2C2+4D2+4
8、解：B（a，a+2）点B在yx+2这条直线上，又AB4，A（0，2），B（4，6），如图，当ABC的外接圆与x轴相切时，ACB有最大值取点G为AB中点，G（2，4），过点G且垂直于AB的直线为：yx+6，设圆心F（m，m+6），FCFB，（m+6）2（m4）2+（m+66）2解得m22故选：B2如图，A，B表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则ACB就是射门角在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大球员甲带球线路ED与球门AB垂直，D为垂足，点C在ED上，当ACB最大时就是带球线路ED上的最佳射门角若AB4，BD1，则当球员甲在
9、此次带球中获得最佳射门角时DC的长度为（）A2B3CD解：当DBCDCA时，ACB最大，CD2BDAD1（1+4）5，CD，故球员甲在此次带球中获得最佳射门角时DC的长度为故选：C3已知点A、B的坐标分别是（0，1）、（0，3），点C为x轴正半轴上一动点，当ACB最大时，点C的坐标是（，0）解：过点A、B作P，点P与x轴相切于点C时，ACB最大，连接PA、PB、PC，作PHy轴于H，如图，点A、B的坐标分别是（0，1）、（0，3），OA1，AB312，PHAB，AHBH1，OH2，点P与x轴相切于点C，PCx轴，四边形PCOH为矩形，PCOH2，PA2，在RtPAH中，PH，C点坐标为（，0）
10、故答案为（，0）4如图，在矩形ABCD中，AB4，AD8，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，若DPM的度数最大，则BP82解：作PMD的外接圆，则圆心O在DM的中垂线上移动，DOM2DPM，当DOM最大时，DPM最大，当O与BC相切时，DOM最大，M是CD的中点，CD4，CMDM2，连接OP，则OPBC，C90，ONCD，四边形OPCN是矩形，OPNC2+13OM，在RtMON中，由勾股定理得，ON2，即PC2，BPBCPC82，故答案为：825某儿童游乐场的平面图如图所示，场所工作人员想在OD边上的点P处安装监控装置，用来监控OC边上的AB段，为了让监控效果更佳，必须要求APB最大，已知
11、：DOC60，OA400米，AB200米，问在OD边上是否存在一点P，使得APB最大？若存在，请求出此时OP的长和，APB的度数；若不存在，请说明理由解：如图，当经过A，B的T与OD相切于P时，APB的值最大，作THOC于H，交OD于Q，连接TA，TB，OT设TPTATBr，TATB，THAB，AHHB100（m），OHQ90，O60，OHOA+AH（400+100）（m），QHOH（400+300）（m），OQH30，TQ2PT2r，TH，2r+400+300，整理得：3r2（1600+1200）r+600000+2400000，（r200）（3r10001200）0，r200或（1000+
12、1200）（舍弃），AT200m，AT2AH，ATH30，ATB2ATH60，APBATB30，OPOQPQ800+200600（200+200）（m）6某商场引进消毒机器人每天进行全场消毒工作，该机器人采取精准直线喷射技术，实现了准确、快速和节约的目标在设置参数的时候，工作人员通过对商场门口身形高大的“大黄蜂”进行多次消毒试验发现：如图，若对A点进行消毒，适当调整机器人CD到AB的距离，使得sin（）的值尽可能的大，能提高消毒的效率已知“大黄蜂”AB身高2.5米，机器人CD高0.4米则当sin（）最大时，机器人CD和“大黄蜂”AB之间距离BC等于 米如图，过点C作CFAE于点F，设BCx米，根据题意得：CDBE，ABBE，AB2.5米，CD0.4米，CDAB，CDEBAE，即，解得：CEx米，a+CAF，CAFa，当sin（a）最大时，sinCAF最大，（sinCAF）2最大，即最大，在RtABC中，AC2AB2+BC2x2+，在RtCDE中，DE2CD2+CE2x2+，CDCEDECF，CD2CE2DE2CF2，CF2，x0，最大，400x2+4264最小，即400x2+最小，（）20，即4
