《中考数学二轮重难点复习讲义模型03 全等三角形中的常见五种基本模型（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学二轮重难点复习讲义模型03 全等三角形中的常见五种基本模型（解析版）（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 模型介绍全等三角形的模型种类多，其中有关中点的模型与垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复.模型一、截长补短模型 截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。如图所示，在BF上截取BM=DF，易证BMCDFC（SAS），则MC=FC=FG，BCM=DCF，可得MCF为等腰直角三角形，又可证CFE=45，CFG=90，CFG=MCF，FGCM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证CDFBCN（SAS），可得CF=FG=
2、BN，DFC=BNC=135，又知FGC=45，可证BNFG，于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG，所以BF=NG=NC+CG=DF+CG. 模型二、平移全等模型 模型三、对称全等模型 模型四、旋转全等模型 模型五、手拉手全等模型 例题精讲模型一、截长补短模型 【例1】.如图，ADBC，AB+BDDC，B54，则C27 解：在DC上截取DEBD，连接AE，ADBC，DEBD，AD是BE的垂直平分线，ABAE，BAEB54，AB+BDDC，DE+ECDC，ABEC，AEEC，CEAC，C+EACAEB54，CEACAEB27，故答案为：27变式训练【变式1-1】如图，点P是ABC三个内角
3、的角平分线的交点，连接AP、BP、CP，ACB60，且CA+APBC，则CAB的度数为（） A60B70C80D90解：如图，在BC上截取CEAC，连接PE，ACB60，CAB+ABC120点P是ABC三个内角的角平分线的交点，CAPBAPCAB，ABPCBPABC，ACPBCP，ABP+BAP60CACE，ACPBCP，CPCPACPECP（SAS）APPE，CAPCEPCA+APBC，且CBCE+BE，APBE，BEPE，EPBEBP，PECEBP+EPB2PBECAPPAB2PBA，且ABP+BAP60，PAB40，CAB80故选：C【变式1-2】如图，在四边形ABCD中，BCBA，AD
4、CD，BD平分ABC，求证：A+C180 证明：在线段BC上截取BEBA，连接DE，如图所示BD平分ABC，ABDEBD在ABD和EBD中，ABDEBD（SAS），ADED，ABEDADCD，EDCD，DECCBED+DEC180，A+C180【变式1-3】如图，ABC为等腰直角三角形，ABAC，BAC90，点D在线段AB上，连接CD，ADC60，AD2，过C作CECD，且CECD，连接DE，交BC于F（1）求CDE的面积；（2）证明：DF+CFEF （1）解：在RtADC中，AD2，ADC60，ACD30，CDCE2AD4，ECCD，ECD90，SECDCDCE448（2）证明：在EF上取一
5、点M，使得EMDF，ECCD，ECDF45，ECMDCF，CMCF，ADC60，FDB180604575，DFBCFM180754560，CFM是等边三角形，CFMF，EFEM+MFDF+CF模型二、平移全等模型 【例2】如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，ADEC，AEDB（1）求证：AEDEBC（2）当AB6时，求CD的长（1）证明：ADEC，ABEC，E是AB中点，AEEB，AEDB，AEDEBC（2）解：AEDEBC，ADEC，ADEC，四边形AECD是平行四边形，CDAE，AB6，CDAB3变式训练【变式2-1】如图1，A，B，C，D在同一直线上，ABCD，DEAF，且DEAF
6、，求证：AFCDEB如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由解：ABCD，AB+BCCD+BC，即ACBDDEAF，AD在AFC和DEB中，AFCDEB（SAS）在（2），（3）中结论依然成立如在（3）中，ABCD，ABBCCDBC，即ACBD，AFDE，AD在ACF和DEB中，ACFDEB（SAS）【变式2-2】如图，AD，BF相交于点O，ABDF，ABDF，点E与点C在BF上，且BECF（1）求证：ABCDFE；（2）求证：点O为BF的中点证明：（1）ABDF，BF，BECF，BCEF，在ABC和DFE中，A
7、BCDFE（SAS）；（2）ABCDFE，ACDE，ACBDEF，在ACO和DEO中，ACODEO（AAS），EOCO，点O为BF的中点【变式2-3】如图，AOB和COD均为等腰直角三角形，AOBCOD90，D在AB上（1）求证：AOCBOD；（2）若AD1，ADC60，求CD的长（1）证明：AOB和COD均为等腰直角三角形，AOBCOD90，OAOB，OCOD，BOD+AOD90，AOC+AOD90，BODAOC，在AOC和BOD中，AOCBOD（SAS）；（2）解：AOCBOD，CAODBO45，又BAO45，CAD90，AD1，ADC60，CD2AD2模型三、对称全等模型 【例3】如图，
8、ADBC，D90，CPB30，DAB的角平分线与CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上（1）求PAD的度数；（2）求证：P是线段CD的中点 （1）解：ADBC，C180D1809090，CPB30，PBC90B60，PB平分ABC，ABC2PBC120，ADBC，DAB+ABC180，DAB18012060，AP平分DAB，PADDAB30；（2）证明：过P点作PEAB于E点，如图，AP平分DAB，PDAD，PEAB，PEPD，BP平分ABC，PCBC，PEAB，PEPC，PDPC，P是线段CD的中点变式训练【变式3-1】如图，ABAC，D、E分别是AB、AC的中点，AMCD于
9、M，ANBE干N求证：AMAN解：ABAC，D、E分别是AB、AC的中点，ADBDAEEC，BC，在DBC和EBC中DBCEBC，BDCBDE，BDCADM，BECAEN，ADMAEN，在AMD和ANE中AMDANEAMAN【变式3-2】如图，已知点E、F分别是正方形ABCD中边AB、BC上的点，且AB12，AE6，将正方形分别沿DE、DF向内折叠，此时DA与DC重合为DG，求CF的长度解：设CFx，则FGx，FB12x，AB12，AE6，BE6，EG6，EF6+x，在RtBEF中，BE2+BF2EF2，62+（12x）2（x+6）2，x4， 即CF的长为4【变式3-3】如图，AOB90，OM
10、平分AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由 解：PC与PD相等理由如下：过点P作PEOA于点E，PFOB于点FOM平分AOB，点P在OM上，PEOA，PFOB，PEPF（角平分线上的点到角两边的距离相等）又AOB90，PEOPFO90，四边形OEPF为矩形，EPF90，EPC+CPF90，又CPD90，CPF+FPD90，EPCFPD90CPF在PCE与PDF中，PCEPDF（ASA）， PCPD模型四、旋转全等模型 【例4】如图，已知：ADAB，AEAC，ADAB，AEAC猜想线段CD与BE之间的数量关系与位置关系
11、，并证明你的猜想解：猜想：CDBE，CDBE，理由如下：ADAB，AEAC，DABEAC90DAB+BACEAC+BAC，即CADEAB，在ACD和AEB中，ACDAEB（SAS），CDBE，ADCABE，AGDFGB，BFDBAD90，即CDBE变式训练【变式4-1】已知ABC和ADE均为等腰三角形，且BACDAE，ABAC，ADAE（1）如图1，点E在BC上，求证：BCBD+BE；（2）如图2，点E在CB的延长线上，求证：BCBDBE（1）证明：BACDAE，BACBAEDAEBAE，即DABEAC，又ABAC，ADAE，DABEAC（SAS），BDCE，BCBE+CEBD+BE；（2）证明：BACDAE，BAC+EABDAE+EAB，即DABEAC，又ABAC，ADAE，DABEAC（SAS），BDCE，BCCEBEBDBE【变式4-2】如图所示，已知P是正方形ABCD外一点，且PA3，PB4，则PC的最大值是3+4 解：如图，过点B作BEBP，且BEPB，连接AE、PE、PC，则PEPB4，
