《中考数学二轮重难点复习讲义模型32 三角形中的四心问题（重心、外心、内心、垂心）（原卷版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学二轮重难点复习讲义模型32 三角形中的四心问题（重心、外心、内心、垂心）（原卷版）（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 模型介绍R1三角形的五心三角形的五心定义外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心；三角形有三个旁心R2三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点（2）重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等重心到三角
2、形3个顶点距离的和最小（等边三角形）R3三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心（3）概念说明：“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个R4三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做
3、三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角R5.垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心.例题精讲例题精讲考点一：三角形重心问题【例1】如图，ABC的中线BD、CE相交于点F，若四边形AEFD的面积为6，则CBF的面积为 变式训练【变式1-1】如图，在等腰直角三角形ABC中，ACB90，ACBC，COAB于点O，中线AE与CO相交于点F，则的值为 【变式1-2】如图，在
4、平面直角坐标系中，点B（2，3），点C在x轴负半轴，OBBC，点M为OBC的重心，若将OBC绕着点O旋转90，则旋转后三角形的重心的坐标为 考点二：三角形外心问题【例2】如图，点O是ABC的外心，连接OB，若OBA17，则C的度数为 变式训练【变式2-1】已知ABC的三边a，b，c满足|c4|+b+a210a430，则ABC的外接圆半径的长为 【变式2-2】如图，ABC的外接圆的圆心坐标为 考点三：三角形内心问题【例3】如图，RtABC中，C90，AC6，BC8则ABC的内切圆半径r 变式训练【变式3-1】O是ABC的内切圆，且C90，切点为D，E，F，若AF，BE的长是方程x213x+300
5、的两个根，则SABC的值为（）A30B15C60D13【变式3-2】如图所示，在矩形ABCD中，BD10，ABD的内切圆半径为2，切三边于E、F、G，则矩形两边AB ，AD 考点四：三角形垂心问题【例4】如图，H是锐角ABC的垂心（3条高的交点），若AHBC，则BAC的度数是 变式训练【变式4-1】如图，在ABC中，已知AB5，CA7，BC6，H为垂心，则AH 【变式4-2】如图，在ABC中M为垂心，O为外心，BAC60，且ABC外接圆直径为10，则AM 1如图，ABC中，BAC70，ABC45，点O是ABC的外接圆的圆心，则AOB等于（）A65B90C130D1402如图，ABC中，ABBC
6、AC3，O是它的内心，以O为中心，将ABC旋转180得到ABC，则ABC与ABC重叠部分的面积为（）ABCD3小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（）A2cmB4cmC6cmD8cm4如图所示，ABC的内切圆O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若DEF52，则A的度数是（）A52B76C26D1285如图，四边形ABCD中，ABAD，BCDC，A90，C60若AB5则ABD外心与BCD内心的距离是（） A5BCD6如图，若正A1B1C1内接于正ABC的内切圆，则的值为（） ABCD7如图，已知Rt
7、ABC的直角边AC24，斜边AB25，一个以点P为圆心、半径为1的圆在ABC内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中P一直保持与ABC的边相切，当点P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是（）AB25CD568如图，点G是ABC的重心，且DGC的面积为4，则ABC的面积为 9如图所示，ABC是O的内接三角形，ADBC于D点，且AC5，DC3，AB，则O的直径等于 10如图，点D是等腰RtABC的重心，其中ACB90，将线段CD绕点C逆时针旋转90得到线段CE，连结DE若ABC的周长为6，则DCE的周长为 11如图，O与ABC的边BC、AC、AB分别切于E、F、D三点，若O的半径是1，C60，AB
8、5，则ABC的周长为 12如图，点P是ABC的重心，过P作AB的平行线DE，分别交AC于点D、交BC于点E；作DFBC，交AB于点F，若ABC的面积为36，则四边形BEDF的面积为 13如图所示，O是ABC的内心，BOC100，则BAC 度14一个直角三角形的两条边长是方程x27x+120的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于 15如图，ABC中，已知AB8，BC5，AC7，则它的内切圆的半径为 16如图，G为ABC的重心，点D在CB延长线上，且BDBC，过D、G的直线交AC于点E，则 17在半径为1的O中内接有锐角ABC，H是ABC的垂心，角平分线AL垂直于OH，则BC 18如图，O的半径
9、为，ABC是O的内接等边三角形，将ABC折叠，使点A落在O上，折痕EF平行BC，则EF长为 19如图，在矩形ABCD中，AB5，BC12，O1和O2分别是ABC和ADC的内切圆，则O1O2 20如图，在ABC中，AC3，BC4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB 21若ABC的外接圆半径为2，H是ABC垂心，则HAB的外接圆半径长是 22如图，剪一个边长为2的等边三角形，让它沿直线l在桌面上向右滚动，当等边三角形第9次落在直线l上时，等边三角形的内心运动过的路程长为 23如图，O，H分别为ABC的外心和垂心，O到BC边的距离为2，H到BC边的距离为HE3，则BC边上的高为
10、24如图，正ABC的面积是8，取正ABC的内心O1，以O1B为边长作正O1BP1，再取正O1BP1的内心O2，以O2B为边长作正O2BP2，依次规律作第2009个正O2009BP2009则O2009BP2009的面积是 25如图，点P为AOB的重心，点B在x轴的正半轴上，函数（k0）图象经过点A，P，且交AB于点C，则点A，P的纵坐标之比是 ，AC：BC的值为 26如图，已知锐角ABC的外接圆半径等于2，BAC60，O、H分别为ABC的外心和垂心，连接OH与BC的延长线交于点P，则OHOP 27如图，AB2，BC1，ABC与EBD为全等的Rt（ABCEBD90），F为直线AE和直线CD的交点，
11、求线段BF的取值范围为 28如图，在ABC中，ABAC10，BC16，点O是ABC的重心，将线段AO绕点A逆时针旋转至O，点D为线段CO的中点，连接BD，则BD的最大值为 29如图，等边ABC的边长为4，点O为ABC的三条中线的交点，点D，E分别为边AB，BC上的点，若DOE120，则DE的最小值为 30如图，锐角三角形ABC内接于半径为R的O，H是三角形ABC的垂心，AO的延长线与BC交于点M，若OHAO，BC10，OA6，则OM的长 31如图，半径为3的O分别与x轴，y轴交于A，D两点，O上两个动点B，C，使BAC45恒成立，设ABC的重心为G，则DG的最小值是 32如图，线段AC7，半圆
12、D的直径AB4，点B在射线CB上运动（1）当半圆D恰好经过AC边的中点时，CB ；（2）当ABC的内心，外心与某一个顶点在同一条直线上时，tanC 33如图，在半径为6，圆心角为90的扇形OAB的上，有一个动点P，PHOA，垂足为H，OPH的重心为G（1）当点P在上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）如果PGH是直角三角形，试求OG：PG：HG的值；（3）如果PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长34如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是 ；若正方形DEFG的面积为100，且ABC的内切圆半径r4，则半圆的直径AB 35在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象过点C（0，4）和点D（2，6），与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），且点D与点G关于坐标原点对称（1）求该二次函数解析式，并判断点G是否在此函数的图象上，并说明理由；（2）若点P为此抛物线上一点，它关于x轴，y轴的
