《中考数学二轮复习考点提分特训专题01 平面直角坐标系中面积问题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学二轮复习考点提分特训专题01 平面直角坐标系中面积问题（解析版）（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题01 平面直角坐标系中面积问题一、【知识回顾】（1）各象限点的特征：第一象限（+，+）；第二象限（，+）；第三象限（一，一）；第四象限（+，一）（2）特殊位置点的特征：若点P在x轴上，则b=0；若点P在y轴上，则a=0；若点P在一、三象限角平分线上，则a=b；若点P在二、四象限角平分线上，则a+b=0（3）坐标的对称点特征点P（a，b）关于x轴的对称点P（a，一b）点P（a，b）关于y轴的对称点P（一a，b）点P（a，b）关于原点的对称点P（一a，一b）注:谁对称谁不变，另一个互为相反数；原点对称横纵坐标都互为相反数（4）点P（a，b）、点M（c，d）坐标关系变化点P到y轴的距离为，到y轴
2、的距离为到原点的距离为将点P沿水平方向平移m（m0）个单位后坐标变化情况为：点P沿水平向右方向平移m（m0）个单位后坐标为（a+m，b）；点P沿水平向左方向平移m（m0）个单位后坐标为（a-m，b）；将点P沿竖直方向平移n（n0）个单位后坐标变化情况为：点P沿竖直方向向上平移n（n0）个单位后坐标为（a，b+n）；点P沿竖直方向向下平移n（n0）个单位后坐标为（a，b-n）若直线PM平行x轴，则b=d；若直线PM平行y轴，则a=c；点P到点M的距离：PM=（勾股定理）线段PM的中点坐标：（） 二、【考点类型】考点1：三角形的一边平行于坐标轴或在坐标轴上典例1：如图，在平面直角坐标系中，O是坐标
3、原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒3个单位的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接，设运动时间为t秒（）(1)点P的坐标为_，点Q的坐标为_（用含t的代数式表示）；(2)请判断四边形的面积是否会随时间t的变化而变化，并说明理由；(3)若以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，请直接写出t的值【答案】(1)，；(2)不会，理由见解析；(3)或【分析】（1）设运动时间为t秒，则，结合题意即可得到点P、点Q的坐标；（2）依据代入计算即可求解；（3）当时，得到即，求解即可； 当时，得到即，求解即可；【详解】（1）解：
4、设运动时间为t秒，则， ，故答案为：，；（2）四边形的面积不会随时间t的变化而变化，理由：四边形的面积（3）当时，即，解得：，当时，即，解得：或（不合题意，舍去），综上所述：或【点睛】本题考查了与矩形有关的动点问题，求不规则图形的面积，相似三角形的性质；解题的关键是依据题意表示出相关线段【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点(1)填空：m_，b_；(2)求的面积；(3)在线段上是否存在一点M，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由(4)点P在线段上，连接，若
5、是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P坐标【答案】(1)3，6(2)的面积为50(3)存在，点M的坐标为(4)所有符合条件的点P坐标为或【分析】（1）由是一次函数与的图象的交点，即可解出；（2）由两个一次函数解析式分别求出它们与x轴的交点坐标，得到的长，从而算出的面积；（3）由已知条件可得的面积，进而得出的长，即可得点M的坐标；（4）由是直角三角形、是锐角，分和两种情况讨论，利用勾股定理即可求解【详解】（1）是一次函数与的图象的交点，解得，解得，故答案为：3，6；（2）一次函数中，当时，；当时，一次函数中，当时，的面积为50；（3）如图：在线段上存在一点M，使得的面积与四边形的面积比为，的
6、面积与四边形的面积比为，即，点M在线段上，点M的坐标为；（4）点P在线段上，是锐角，若是直角三角形，则或，设点，当时，整理得，解得或（舍去），点P坐标为；当时，解得，点P坐标为；综上所述，所有符合条件的点P坐标为或【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答【变式2】7如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是轴正半轴上一点，以为边作等腰直角三角形，使，点在第一象限若点在函数的图象上，则的面积为（）A.B.C.D.【答案】C【分析】设点B的横坐标为x，过C作x轴
7、，y轴的垂线，易证OABDCA，可得CD=OA=1，AD=OB=x，因为点C在y=图象上，可得矩形ODCE的面积为3，列方程即可得出x的值，然后根据勾股定理求出AB的长，即可得出ABC的面积【详解】解：设点B的横坐标为x，过C作CEx轴于点E，CDy轴于点D，DCA+DAC=90，DAC+OAB=90，DCA=OAB，在OAB与DCA中，OABDCA（AAS），CD=OA=1，AD=OB=x，OD=1+x，点C在y=图象上，矩形ODCE的面积为3，即1（1+x）=3，x=2，AC=AB=，SABC=ABAC=故选C【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何性质，作出辅助线构造出全等三角形，表示出矩
8、形的边长是解决此题的关键【变式3】10如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为yx，直线l2与l1交于B（a，a），与y轴交于点A(0，b)其中a、b满足（a+2）2+0，那么，下列说法：（1）B点坐标是(2，2)；（2）三角形ABO的面积是3；（3） ；（4）当P的坐标是(2，5)时，那么，正确的个数是（）A1个B2个C3个D4个【答案】D【分析】（1）根据非负数的性质即可求得a的值，即可得到B（2，2）；（2）利用三角形面积公式求得即可判断；（3）求得OBC和AOB的面积即可判断；（4）SBCP和SAOB的值即可判断【详解】解：（1）a、b满足（a+2）2+0，a+20，b30，a2，
9、b3，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（2，2），故（1）正确；（2）三角形ABO的面积OA323，故（2）正确；（3）设直线l2的解析式为ykx+c（k0），将A、B的坐标代入ykx+c，得：，解得：，直线l2的解析式为yx+3，令y0，则x6，C（6，0），SOBC6，SABO3，SOBC：SAOB2：1；故（3）正确；（4）P的坐标是（2，5），B（2，2），PB523，SBCP6，SAOB326，SBCPSAOB故（4）正确；故选：D【点睛】本题考查了两条直线相交问题，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，求得交点坐标是解题的关键考点2：三角形的边都不平行于坐标轴或都不在在坐标
10、轴上（铅锤法）典例2：如图，在平面直角坐标系中，点，点在反比例函数的图象上(1)求反比例函数的表达式；(2)求的面积；(3)在反比例函数图象上是否存在点P，使的面积是面积的2倍若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)3(3)存在，【分析】（1）把把，代入得出即可求出反比例函数的表达式（2）把代入得，确定点B的坐标，再根据待定系数法得出直线的表达式，求出与轴的交点，再根据即可（3）设点为，根据列出方程解之即可【详解】（1）解：把，代入得：，反比例函数的表达式为，（2）把代入得，为；设直线的表达式为：，把点，点代入得：，解得：，与轴的交点，；（3）设点为，或，为，【点睛】本题
11、考查了反比例函数与几何，反比例函数与一次函数，根据列出方程是解题的关键【变式1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接，对称轴为直线(1)求抛物线的解析式；(2)点D是第三象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值【答案】(1)；(2)【分析】（1）由得，结合对称轴建立方程组求解即可；（2）如图，由（1）求出即，即设是第三象限内抛物线上的动点，根据，用坐标表示三角形面积即可求解【详解】（1）解：，对称轴为，解得：，抛物线解析式为：；（2）如图，抛物线与x轴交于点，对称轴为，即，抛物线解析式为：，,即，设是第三象限内抛物线上的动点，则且，开口向下，当时有最大值
12、，面积的最大值为【点睛】本题考查了代入法求二次函数解析式、二次函数的图像和性质求三角形最大面积；解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质【变式2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接，点P为下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，请求出P点的坐标和的面积最大值；(3)如图2，点N为线段上一点，连接，求的最小值【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）待定系数法求解析式即可；（2）过点作轴于点，交于点，利用，将三角形的面积转化为二次函数求最值，进行求解即可；（3）过点在轴右侧作直线交轴于点，使，过点作于点，则：，可得：，当三点共
13、线时，的值最小，即为的长，进行求解即可【详解】（1）解：抛物线与x轴交于两点，解得：，；（2）解：，当时，设直线的解析式为：，则：，解得：，直线的解析式为：，过点作轴于点，交于点，设，则：，；，点P为下方抛物线上一动点，当时，的面积最大为，此时，即：；（3）解：过点在轴右侧作直线交轴于点，使，过点作于点，则：，当三点共线时，的值最小，即为的长，如图：，；的最小值为【变式3】27如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为(1)求反比例函数的关系式；(2)设点在反比例函数的图象上，连接，若的面积是菱形面积的，求点的坐标【答案】(1)(2)【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再利用菱形的性质可得到的长，进而得出点的坐标，最后利用反比例函数的坐标特征求出的值；（2）根据的面积是菱形面积的列方程即可求得点的坐标【详解】（1）解：延长交轴于，则垂直于轴，如图1所示点的坐标为，四边形为菱形，点坐标为，点在反比例函数的图象上，；反比例的函数关系式为：；（2）解：由（1）知：反比例函数的关系式为，
