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1、目 录摘要（核心词）1Abstract（Key words） 1前言11.典型力学中的谐振子11.1简谐振子 11.2受驱谐振子 21.3阻尼谐振子 31.4受驱阻尼谐振子 31.5数学描述 31.6典型谐振子的计算 42.量子力学中的谐振子 52.1一维谐振子 52.1.1哈密顿算符和能量本征态 52.1.2 阶梯算符措施 62.1.3自然长度和自然能量82.2三维谐振子 82.3谐振子的相干态 92.3.1降算符的本征态92.3.2相干态的性质 103.典型谐振子和量子谐振子的比较 103.1能级103.1.1能级取值点 103.1.2零点能 103.2波函数11参照文献 13道谢 13典
2、型力学和量子力学中的谐振子摘要：谐振子在典型力学和量子力学中都是比较重要的问题，因素在于简谐振动广泛存在于自然界中，而许多体系都可以当作谐振子。本文着重简介了典型力学中谐振子的的几种类别及其有关物理量的求解和量子力学中一维谐振子、三维谐振子以及相干态的有关知识，最后对典型和量子两个范畴内的谐振子进行了比较。核心字：谐振子；典型力学；量子力学；相干态Abstract：Harmonic oscillator is important in both classical and quantum mechanics. The reason is that simple harmonic oscilla
3、tion widely exists in nature, and many systems can be viewed as harmonic oscillator system. In this paper, we mainly introduce the solution of the several categories and their relating physics terms of oscillator in classical mechanics and the relevant property of one-dimensional harmonic oscillator
4、, the three dimensional harmonic oscillator, and its coherent state in quantum mechanics, finally compare harmonic oscillator in classical mechanics with that in quantum mechanics.Key words：Harmonic oscillator；Classical mechanics；Quantum mechanics；Coherent states前言何为谐振？在运动学就是简谐振动，该振动是物体在一种位置附近往复偏离该振
5、动中心位置（即平衡位置）进行运动，在这个振动形式下，物体受力的大小总是和她偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。何为谐振子？把振动物体看作不考虑体积的微粒或者质点的时候，这个振动物体就叫谐振子。1.典型力学中的谐振子典型力学中，一种谐振子就是一种系统，当其从平衡位置发生位移，就会受到一种正比于位移x的恢复力F，并遵守胡克定律：其中k是一种不小于零的常数，由系统决定。如果F是系统所受到的唯一的力，则系统被称作简谐振子。而其进行的往复运动称作简谐运动正中央为平衡点的正弦或余弦的振动，且振幅与频率都是常数。若同步存在一种正比于速度的摩擦力，则会存在阻尼现象，那么这种谐振子称为阻尼振
6、子。在这种状况下，其振动频率不不小于无阻尼状况的振子，且振幅随着时间减小。或者，若同步存在一种与时间相依的外力，该谐振子称为受驱振子。1.1简谐振子简谐振子没有驱动力，也没有摩擦，因此合力单纯为： (1.1.1)运用牛顿第二定律，有： (1.1.2)并且加速度a等于x的二次微分导数，得： (1.1.3)若定义，则方程可以写为： (1.1.4)又由于： (1.1.5)然后裔回（1.1.4）式，得到： 对方程积分，得： (1.1.6)其中K是积分常数，设，得到： (1.1.7)再对方程积分，成果（涉及积分常数）为： (1.1.8)并有一般解为： (1.1.9)其中振幅以及相位可过初始条件来决定。此
7、外也可以将一般解写成： (1.1.10)其中的值与（1.1.9）式相比，偏移了；一般解又可以写作为： (1.1.11)其中与为透过初始条件决定的常数，以替代前面形式的与。其振动频率则为： (1.1.12)动能为： . (1.1.13)以及势能为： (1.1.14)因此系统总能为定值： (1.1.15)1.2受驱谐振子一受驱谐振子满足如下非齐次二阶线性微分方程 ， (1.2.1)其中A0是驱动振幅，是驱动频率，针对的是一弦波式的驱动机制。这样的系统出目前交流LC（电感L-电容C）电路以及抱负化的弹簧系统（没有内部力学阻力或外部的空气阻力）。1.3阻尼谐振子阻尼谐振子满足如下二阶微分方程 ， (1
8、.3.1)其中是阻尼常数，满足关系式。满足此方程的一种例子为置于水中的加权弹簧，假设水所施的阻尼力与速度v呈线性比例关系。阻尼谐振子的频率为： (1.3.2)其中 （1.3.3） 1.4受驱阻尼振子受驱阻尼振子满足方程 。 （1.4.1）其一般解为两个解的和，一种为暂态解（ 无驱动阻尼谐振子的齐次常微分方程的解），与初始条件有关；另一种为稳态解（非齐次常微分方程的特殊解），与初始条件无关，只与驱动频率、驱动力、阻尼力有关。稳态解为： （1.4.2）其中 （1.4.3）为阻抗或线性响应函数的绝对值 （1.4.4）而 （1.4.5）为相对于驱动力（相位定为0）的振动相位。由上述关系式可以看出，当在
9、某特定驱动频率时，振子振动的振幅达到最大。这个特定的驱动频率为： （1.4.6）此时，产生的现象称之为（位移上的）共振。总结来说，在稳态时，振动频率等同于驱动力的频率，但振动与驱动力在相位上有偏移，且振幅大小与驱动频率有关；当驱动频率与振动系统偏好（共振）频率相似时，振幅达到最大。1.5完整数学描述多数谐振子，基本上满足如下的微分方程： （1.5.1）其中t是时间，b是阻尼常数，是本征角频率，而代表驱动系统的某种事物，其振幅为，角频率为，x是进行振荡的被测量量，可以是位置、电流或其她任何也许的物理量。角频率与频率f有关，关系式为 （1.5.2）典型振子描述中的重要术语有：振幅：偏离平衡点的最大的位移量。周期：系统完毕一种振荡循环所需的时间，为频率的倒数。频率：单位时间内系统执行的循环总数量（一般以1赫兹 = 1/秒为量度）。角频率： = 2f相位：系统完毕了循环的多少（开始时，系统的相位为零；完毕了循环的一半时，系统的相位为）。初始条件：t = 0时系统的状态。1.6典型谐振子的计算一质量为m的质点沿ox轴运动，它所受到的答复力可从势函数的微商得到。势函数为： （1.6.1）力的体现式为： （1.6.2）i是沿ox轴的单位矢量。运动方程可以写成： （1.6.3） 令
