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1、第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷C小学高年级组时间：2021 年 4 月 20 日 10:00-11:30、填空题每题 10分，总分值80分1 .计算:2-(-2)(-)33 1111 5272 .农谚“逢冬数九讲的是， 从冬至之日起，每九天分一段，依次称之为一九，二九， 九九，冬至那天是一九的第一天，2021年12月21日是冬至，那么 2021年2月3日是九的第 天.a1 a 13 .最简单分数-满足-，且b不超过19,那么a b的最大可能值与最小可能值之b5 b 4积为.4 .如下列图，P、Q分别是正方形 ABCD的边AD和对角线AC上的点，且AP : PD 1:3, AQ:QC
2、4:1 ,如果正方形 ABCD的面积为100,那么三角形 PBQ的面积是5 .四位数abcd与cdab的和为3333,差为693,那么四位数abcd为.6 .两个较小的正方体积木分贝粘在一个大正方体积木的两个面上，构成如下列图的立体图 形，其中，每个小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的的粘贴面各边的一个五等分点，如果每个积木的棱长互不相同且最大的棱长为5,那么这个立体图形的外表积为7 .设a、b、c分别是09中的数字，它们不同时都为0也不同时都为9.将循环小数0.abc化成最简分数后，分子有 不同情况.8 .由四个完全相同的正方体，堆积成如下列图的立体，那么立体的外表上包括底面所有黑点的总数
3、至少是二、解答题每题 10分，共40分9.右图中，大正方形的周长比小正方形的周长多 米.那么，大正方形的面积是多少平方厘米80厘米，阴影局部的面积为880平方厘10.某高中根据入学考试成绩确定了录取分数线，录取了四分之一的考生.所有被录取者的成绩平均分比录取分数线高10分,所有没有被录取的平均分比录取分数线低26分，所有考生的平均成绩是 70分.那么录取分数线是多少 ？11 .设n是小于50的自然数，求使得3n 5和5 n 4有大于1的公约数的所有n .12 . 一次数学竞赛中，参赛各队每题的得分只有0分,3分和5分三种可能.比赛结束时，有三个队的总得分之和为32分.假设任何一个队的总得分都可
4、能到达32分,那么这三个队的总得分共有多少种不同的情况三、解答题每题 15分，共30分13 .在等腰直角三角形 ABC中，A 90 , AB AC 1 ,矩形EHGF在三角形ABC内，且G , H在边BC上.求矩形EHGF的最大面积.4 4的正方形.假设一个拼成的正方14 .用八个右图所示的 2 1的小长方形可以拼成一个形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，那么认为两个拼成的正方形相同.问有几种拼成的正方形图形仅以一条对角线为对称轴第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷C小学高年级组参考答案12345677.55,925337.52021 或 132027066089101112131
5、4551024877,20,33,462551410参考解析、填空题每题 10分，总分值80分1 .计算：2 2（11）（1!）_8331111527【考点】计算一一速算巧算【难度】【答案】7.5212 .（一3311188印45H 27 385 11 27 153 1116822 .农谚“逢冬数九讲的是， 从冬至之日起，每九天分一段，依次称之为一九，二九， 九九，冬至那天是一九的第一天，2021年12月21日是冬至，那么 2021年2月3日是九的第 天.【考点】周期问题【难度】【答案】5, 9【分析】2021年12月21至IJ 2021年2月3日，包含12月21在内，共31-21+1+31+
6、3=45 天，周期为9, 45 + 9=5,故为五九的第九天.a1 a 13 .最简单分数a满足1 a 1,且b不超过19,那么a b的最大可能值与最小可能值之 b5 b 4积为.【考点】数论一一分数比拟大小【难度】【答案】253【分析】先分别求出a b的最大值与最小值；要使a b最大，那么a与b尽量大，由于b不超过19,故b最大为19,由a是最简分数，且 J _a 1,当b 19时，利用商不 b5 b 44 a 5 变性质有： 一 2,故a最大可为4,因此a b最大可能为19 4 23 .20 19 20同理，可求出a b的最小值：由1a 1可得：A a a最小可为2 故5 b 410 b
7、8 b9a最小值可为2, b最小可为9, a b最小可为2+9=11, 因此，所有的积为：23 11 253 .4 .如下列图，P、Q分别是正方形 ABCD的边AD和对角线AC上的点，且AP : PD 1:3, AQ:QC 4:1 ,如果正方形 ABCD的面积为100,那么三角形 PBQ的面积是【考点】几何一一面积问题，【难度】【答案】37.5【分析】作QF AD于F ,正方形ABCD的面积为100,所以AD AB 10 ,因为QC : AQ 1:4,AQ : AC QF :CD AF : AD 4 : 5 ,所以 QF 8, AF 8 , AP : PD 1: 3, 所以 AP 2.5 PF
8、 5.5 ,Spqb Sabqf Sqfp Sabp (8 10) 8 2 8 5.5 2 2.5 10 2 37.5.5 .四位数abcd与cdab的和为3333,差为693,那么四位数abcd为【考点】数论一一位值原理【难度】【答案】2021或1320【分析】（3333 693） 2 2013 或（3333 693） 2 1320 .6 .两个较小的正方体积木分贝粘在一个大正方体积木的两个面上，构成如下列图的立体图 形，其中，每个小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的的粘贴面各边的一个五等分点，如果每个积木的棱长互不相同且最大的棱长为5,那么这个立体图形的外表积为【考点】几何一一立体图形外
9、表积问题【难度】【答案】270【分析】把粘在一起的二个面转化为平面图形单独画出来，求出小积木的一个面的面积，就不难求出立体图形的外表积了. 一个小积木的面积为大积木的面积减去四个相等 的三角形的面积：5 5 (1 1 4) 4 17 ,另一个小积木的面积为： 215 5 (- 2 3) 4 13于是立体图形的总外表积为：25 6 17 4+13 4=270 .27.设a、b、c分别是09中的数字，它们不同时都为0也不同时都为9.将循环小数0.abC 化成最简分数后，分子有 不同情况.【考点】数论一一容斥原理 +循环小数与分数的互化【难度】【答案】660【分析】首先求出此循环小数化为分数后的总个
10、数，根据条件，分子是001998,分母是999,共有998个，然后，要把分子分母约分变成最简分数，分子约分后必与001-998当中的某数一样，这样，有多少个重复的，就应该减去多少.因此，问题转化为求1- 998当中有多少个能与 999完全约分后有重复.关键是不多减，也不遗漏. 999=3 X 3X 3X 37, 998+3=332 余 2, 998+37=26 余 36, 26+ 3=8余 2,也就是 1-998 当 中有332个能被3整除，有26个能被37整除，有8个既能被3整除又能被37整 除，当我们根据容斥原理列算式998-332-26+8=648时，要想一想，所有能被3或37整除的都是
11、重复的吗也就是都可以减去吗？对于小学生来说，最好的方法 是举例子来想一想例如：,-27 ,这些分子都是1与 999 333999 111999 371重复了，但里 旦，因这 。已经减去了，故且就没有中的分子就没有重 999 37999 33337复了.由于999=3X 3X 3X 37,故1-998当中能被37整除的全部应该减去，但， 能被3整除的就不能全部减去，因为那些含有3X 3X 3X 3即4个或以上3的因数的数，约分后就没有重复的了.这局部数有998+3X3X 3X3=12个，故，还应加回这12个数，因此，完整的算式是：998-332-26+8+12=660 ,即分子共有660种不同情
12、况.8 .由四个完全相同的正方体，堆积成如下列图的立体，那么立体的外表上包括底面所有黑点的总数至少是【考点】逻辑推理问题【难度】【答案】55【分析】3对面是5, 4对面是2,当然，剩下的1对面就是6.把能看到的按顺序全加起来：2+3+5+4+3+1+6+3+4=31,把对面看不到的外表数字能确定的加起来，共有 5个：4+3+2+2+1+5+5=22,两个不能马上确定，但是左面通过推理的一定是1,中间的最小也是1 31+22+1+1=55.二、解答题每题 10分，共40分9 .右图中，大正方形的周长比小正方形的周长多80厘米，阴影局部的面积为 880平方厘米.那么，大正方形的面积是多少平方厘米
13、？【考点】直线型面积一一勾股弦图【难度】【答案】1024【分析】首先，我们容易从大正方形的周长比小正方形的周长多80,分析出大正方形的边长比小正方形的边长多 80 4 20 ,这个应该都没问题.接下来，解法一：列方程方法简单，但需解稍为难一点点的方程 设小正方形的边长为 x,那么大正方形的边长为 20 x,可列方程如下：(20 x) (20 x) x2 880 ,这个方程虽然不是小学生学过的简易方程，但，对于参加奥赛的学生来说，还是可以解出来的，解之得 x 12,因此，大正方形的边长 为20 12 32,故大正方形的面积为 32 32 1024.解法二：如果不想列方程，那么，就稍为转换一下思维
14、角度.把大正方形中的小正 方形移到某个角落，如右上角，显然，这样并不会改变阴影局部的面积，如图:根据前面的推论，虚线局部的长度是20,于是不难有以下算式:880 20 20=480 ,这是两个小长方形的面积和，两个长方形形状一样故，480 2 240 ,这是一个长方形的面积，而长方形的长是 20,因此，240 20 12 ,这是长方形的宽，也就是小正方形的边长.故，大正方形的边长为 20 12 32,面积为32 32 1024 .10 .某高中根据入学考试成绩确定了录取分数线，录取了四分之一的考生.所有被录取者的成绩平均分比录取分数线高10分,所有没有被录取的平均分比录取分数线低26分，所有考生的平均成绩是 70分.那么录取分数线是多少 ？【考点】应用题一一平均数【难度】【答案】87【分析】由于题中没有直接给出具体有多少名学生参参加学考试，故不妨设有4名学生参参加学考试，其中1人被录取，3人未被录取.根据题意可画出以下列图：全体H学的半同分1分敢猛 i家购H寸的T局分1：I未学犀同学的学均分1 从图中可以看出，要想使未录取的3名同学的平均分到达 70分，只要把录取同学的平均分比未录取同学的平均分多的分数26 10 36平均分成4份，把其中的3份分别加到未录取同学的平均分上即可.由此可推出未录
