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1、 学科教师辅导讲义教学内容 (一)元二次方程的解法 题型1二次函数的图像和性质例题1（2012贵港一模）若直线y=b（b为实数）与函数y=|x24x+3|的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是0b1考点：二次函数的性质菁优网版权所有分析：先求x24x+3=0时x的值，再求x24x+30和x24x+30时，自变量的取值范围及对应的函数式，求函数式的取值范围，判断符合条件的b的值的范围解答：解：当x24x+3=0时，x=1或x=3，当x1或x3时，x24x+30，即：y=|x24x+3|，函数值大于0，当1x3时，1x24x+30，即：y=|x2+4x3|，函数最大值为1，故符合条件的实数b
2、的取值范围是0b1点评：本题是分段函数的问题，按照绝对值里的数的符号，分段求函数，再求符合条件的b值范围例题2（2014牡丹江）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），对称轴是直线x=1，则a+b+c=0考点：二次函数的性质菁优网版权所有专题：常规题型分析：根据二次函数的对称性求出抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），由此求出a+b+c的值解答：解：抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），对称轴是直线x=1，y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），a+b+c=0故答案为：0点评：本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出抛物线y=ax2+bx+c
3、与x轴的另一交点为（1，0）是解题的关键（2014武汉模拟）直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式mx+nax2+bx+c0的解集是1x2考点：二次函数的图象；一次函数的图象菁优网版权所有分析：从图上可知，mx+nax2+bx+c，则有x1或x；根据ax2+bx+c0，可知1x2；综上，不等式mx+nax2+bx+c0的解集是1x2解答：解：因为mx+nax2+bx+c0，由图可知，1x2点评：此题将图形与不等式相结合，考查了同学们对不等式组的解集的理解和读图能力，有一定的难度，读图时要仔细题型2二次函数与一元二次方程例题1根据下列表格中的对应值，
4、判断方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c为常数）的根的个数是（）x6.176.186.196.20y=ax2+bx+c0.020.010.020.04A0B1C2D1或2考点：图象法求一元二次方程的近似根菁优网版权所有专题：计算题分析：由表格中的对应值可得出，方程的一个根在6.176.18之间，另一个根在6.186.19之间解答：解：当x=6.17时，y=0.02；当x=6.18时，y=0.01；当x=6.19时，y=0.02；方程的一个根在6.176.18之间，另一个根在6.186.19之间，故选C点评：本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，当函数值由正变为负或由负变为正时，方程的
5、根在这两个自变量之间观察下列表格，求一元二次方程x2x=1.1的一个近似解是（） x1.11.21.31.41.51.61.71.81.9x2x0.110.24.390.560.750.961.191.441.71A0.11B1.6C1.7D1.19考点：图象法求一元二次方程的近似根菁优网版权所有分析：设y=x2x，根据表格，可以看出y=x2x在区间【1.1，1.9】上是增函数，根据函数是单调性，来确定一元二次方程x2x=1.1的一个近似解解答：解：令y=x2x，根据表格，可以看出y=x2x在区间【1.1，1.9】上是增函数，当x2x=1.1，即y=1.1时，y=x2x的值域是【0.96，1.
6、19】上，它对应的定义域是【1.6，1.7】，与0.96相比，y=1.1更接近于1.19，方程x2x=1.1的定义域更接近于1.7故选C点评：本题的考查的是二次函数与一元二次方程，在解题过程中，根据表格，来判断函数的单调性，然后根据单调性来解答问题题型3实际问题与二次函数例题1运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高y（m）与水平的距离x（m）之间的函数关系式为y=x2+x+，则该运动员的成绩是（）A6mB12mC8mD10m考点：二次函数的应用菁优网版权所有专题：应用题分析：铅球落地才能计算成绩，此时y=0，即x2+x+=0，解方程即可在实际问题中，注意负值舍去解答：解：由题意可知，把y=
7、0代入解析式得：x2+x+=0，解方程得x1=10，x2=2（舍去），即该运动员的成绩是10米故选D点评：本题考查二次函数的实际应用，搞清楚铅球落地时，即y=0，测量运动员成绩，也就是求x的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题例题2（2014仙桃）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为米考点：二次函数的应用菁优网版权所有专题：函数思想分析：根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案解答：解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O
8、且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（2，0），到抛物线解析式得出：a=0.5，所以抛物线解析式为y=0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=1代入抛物线解析式得出：1=0.5x2+2，解得：x=，所以水面宽度增加到米，故答案为：点评：此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式
9、是解决问题的关键（2014杨浦区一模）如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为2米考点：二次函数的应用菁优网版权所有分析：直接利用公式法求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离解答：解：函数解析式为：，y最值=2故答案为：2点评：此题主要考查了二次函数的应用，正确记忆最值公式是解题关键题型4二次函数压轴题例题1定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”如图，直线l：y=x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3
10、），Bn（n，yn） （n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），An+1（xn+1，0）（n为正整数）若x1=d（0d1），当d为（）时，这组抛物线中存在美丽抛物线A或B或C或D考点：二次函数综合题菁优网版权所有专题：压轴题；新定义分析：由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半又0d1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点纵坐标必定小于1解答：解：直线l：y=x+b经过点M（0，），
11、则b=；直线l：y=x+由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；该等腰三角形的高等于斜边的一半0d1，该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；当x=1时，y1=1+=1，当x=2时，y2=2+=1，当x=3时，y3=3+=1，美丽抛物线的顶点只有B1、B2若B1为顶点，由B1（1，），则d=1=；若B2为顶点，由B2（2，），则d=1（2）1=，综上所述，d的值为或时，存在美丽抛物线故选B点评：考查了二次函数综合题，该题是新定义题型，重点在于读懂新定义或新名词的含义利用抛物线的对称性找出相应的等腰直角三角形是解
12、答该题的关键如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15，点B在抛物线y=ax2（a0）的图象上，则a的值为（）ABC2D考点：二次函数综合题菁优网版权所有专题：压轴题分析：连接OB，过B作BDx轴于D，若OC与x轴正半轴的夹角为15，那么BOD=30；在正方形OABC中，已知了边长，易求得对角线OB的长，进而可在RtOBD中求得BD、OD的值，也就得到了B点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数a的值解答：解：如图，连接OB，过B作BDx轴于D；则BOC=45，BOD=30；已知正方形的边长为1，则OB=；RtOBD中，OB=，BOD=30，则：BD=OB=
13、，OD=OB=；故B（，），代入抛物线的解析式中，得：（）2a=，解得a=；故选B点评：此题主要考查了正方形的性质、直角三角形的性质以及用待定系数法确定函数解析式的方法，能够正确地构造出与所求相关的直角三角形，是解决问题的关键（2013秋禹州市校级月考）二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，则函数值y0时，对应x的取值范围是3x1考点：二次函数的性质；二次函数的图象菁优网版权所有专题：常规题型分析：由图象知抛物线顶点坐标为（1，4），二次项系数为1，直接写出抛物线的顶点式，展开可求出b，c值，先求出y=0时，对应x的值，再求函数值y0时，对应x的取值范围解答：解：抛物线顶点坐标为（1，4），二次项系数为1，抛物线的解析式为：y=（x+1）24即y=x2+2x3=（x+3）（x1）抛物线与x轴两交点坐标为（3，0），（1，0）故当函数值y0时，对应x的取值范围上是3x1本题答案为3x1点
