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1、任意角教学设计一、内容和内容解析1.内容章头图与章引言；任意角；象限角；终边相同的角.2.内容解析章头图与章引言应该隶属于整个第五章的总引言，简单介绍了本章将要学习的主要内容、研究方法及实际应用.但其内容比较少，因此可以与“5.1.1任意角”合成一个课时.教科书在章引言中列举了一些现实中存在的周期变化现象，并在章头配置了一幅月亮围绕地球运转产生圆缺变化的图形，一方面说明了三角学的起源、发展与天文学密不可分，另一个方面也说明了本章将要研究的三角函数是用来刻画这种周期现象的数学模型.对于角的概念推广，因为学生过去接触的角都在0360范围之内，但在现实生活中有大量的关于角的例子都超出了这个范围，要想
2、描述清楚这些角，就要从动态的角度重新定义角的概念.实际上，我们很容易认识到一般的角是“转”出来的，要准确刻画一个角，必须知道两个方面：一是旋转方向；二是旋转量.有了这两个方面就可以将0360的角推广到任意角，但如何对任意角进行量化，这还是一个问题.我们知道，旋转量的大小可以在角度制的基础上进行推广，而旋转方向需要利用我们已有的“通过符号代表方向”的经验加以解决.因此，我们规定：若角通过逆时针方向旋转形成为正角；顺时针方向旋转形成为负角；没有作任何旋转（即旋转量为0）为零角.同时，可类比正负数的规定，说明正角、负角是用来表示“具有相反意义的旋转量”，零角无正负，就像实数0无正负一样.角的范围扩展
3、到任意角后，角的运算的意义也随之得到扩展.初中学过角的和、差和倍角，角的运算中不考虑方向，两角差只考虑“大角减小角”角的范围扩充后，基于用符号表示方向，依据沙尔定理，即方-交二三，不仅可以“小角减大角”，而且对两角和也赋予了全新的意义.教科书定义的两个任意角a，饰勺和是：把角a的终边旋转角B，这时终边所对应的角是a+a这个规定既符合人的直觉，也与实数的运算法则一致，因此它是合理的.首先，字母a，口表示任意角，它们是带有符号的.当a，B的符号为正时，射线的旋转方向为逆时针；符号为负时，射线的旋转方向为顺时针.为了方便，我们用网，脚表示相应的旋转量.角（a+B）是两次连续旋转的结果，可以分如下几种
4、情况：（1）a0邛0；（2）a0邛0；（3）a0邛0；（4）a0邛0.下面我们根据任意角的概念做一个分析：对于（1）,角（a+B）的旋转方向为逆时针，旋转量为网+|瓦对于（2）,如果网|B|，则角（a邛）的旋转方向为逆时针，旋转量为|a |-|BI ；如果网四，则角（a+B）的旋转方向为顺时针，旋转量为|B|-|a|.对于（3）,如果|agB|,则角（a+B）的旋转方向为逆时针，旋转量为|B |-|a|;如果网|B|,则角（a邛）的旋转方向为顺时针，旋转量为|a|-|B|.对于（4）,角（a+B）的旋转方向为顺时针，旋转量为网+|瓦于是：同号两角相加，取相同的方向，并把“绝对值”相加；“绝对值
5、”不相等的异号两角相加，取“绝对值”较大的角的方向，并用较大的“绝对值”减去较小的“绝对值”.显然，旋转量相同，旋转方向相反的两个角相加得零角；一个角与零角相加仍得这个角.综上可知，两角和的运算与实数的加法运算完全一致；同时，像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有a-B=a+（-B）,即“减去一个角等于加上这个角的相反角”.这样，角的减法可以转化为加法.从几何角度看，就是一条射线绕端点旋转任意角a后再旋转任意角B，这时终边所对应的角是a+B.引入象限角概念，使角放在一个统一的标准下进行讨论，可以使角的讨论得到简化，并进而可以利用任意角、直角坐标系刻画周期性变化现象.终边相
6、同的角是具有特殊关系的象限角，可以看成是在定义象限角概念之后研究它的性质，这些角有“始边、终边都相同”的共同特征从几何角度看，“终边旋转整数周回到原来的位置”而形成“终边相同的角”，用数量关系表示，就是“终边相同的角相差360的整数倍”，用符号形式表示，就是：所有与角a 终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S=B|B=a+k360。，keZ .另外，有了终边相同的角的表示，就可以非常方便地得出三角函数的诱导公式一.根据上述分析，确定本课时教学重点是：将0。到360。范围的角扩充到任意角，终边相同的角.二、目标和目标解析1后标（1）通过阅读章引言，了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界
7、的密切联系，了解学习三角函数的必要性；（2）了解任意角以及象限角的概念，会判断一个任意角是第几象限角，发展数学抽象素养；（3）掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法.2眉标解析达成上述目标的标志是：（1）学生能简单说出本章所学的内容、结构、研究过程与方法，知道三角函数就是刻画一类周期变化规律的数学模型，并能举出现实世界中这类周期现象的例子；（2）对于给定一个任意角，学生能说出旋转方向及旋转量，并能在直角坐标系中作出该角，还能判断它是第几象限角；对于两个角，会判断它们是否相等或是否为相反角，如果相加、减后，从数量上，知道结果是正角、负角或零角，从图形上，还能解释是通过怎样的旋转得到的.（3
8、）学生能说出集合中、的准确含义，知道终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无限多个，它们相差360的整数倍，体会数形结合思想及特殊到一般的归纳思想.三、教学问题诊断分析第一个学习难点应该是对角的概念的推广，就象数系的扩充与推广一样，从自然数到整数，整数到有理数，有理数到实数，实数到复数，等等，每一次扩充与推广都与学生以前的认知产生矛盾，原本对前面知识的认识与接受可能就经历了不平凡的过程，这就使得打破学生认知的定势难上加难.通过初中的学习，学生对角的认知基础是：角的范围在0360.为了改变学生对角的认识，首先，让他们举出现实生活中超出0360的角的大量例子，而且让他们认识到这些角只能用超出036
9、0的角才能描述清楚，用以说明引入新概念的必要性和实际意义其次，还可以借助信息技术工具(如GeoGebra ),让学生在动态的过程中感受到：角是转出来的，在角的终边“任意”旋转的过程中，要准确地刻画一个角，必须“既要知道旋转量，又要知道旋转方向”.最后，如何将这种旋转量与旋转方向进行量化才是关键所在。初中研究过“平面图形的旋转”，学生已经知道旋转的“三要素”，这是对旋转的定性刻画，可以作为刻画任意角的一个基础.如何用量化的方法刻画任意角呢？旋转量的大小可以在初中学过的角度制基础上进行推广，这里的关键是用符号表示“旋转方向”，逆时针方向为正、顺时针方向为负.教学中可类比正负数的规定，说明正角、负角
10、是用来表示“具有相反意义的旋转量”.第二个学习难点是对“090的角”“第一象限角”“锐角”“小于90。的角”这些概念之间关系的认识.在教学中，有必要在坐标系中利用动画进行演示，让学生直观感知，另外，还可以通过具体例子来反映它们之间关系，从特殊到一般加强认识.第三个学习难点是对终边相同角的认识.因为学生们对于动态的任意角的概念还不熟悉，而终边相同的角有一个共同的特点就是这些角的始边和终边都相同，从图形上看没有任何区别，那么如何加深对终边相同角的理解呢？第一，我们可以借助信息技术工具（如GeoGebra）动态地展示这些终边相同角之间的联系与区别，让学生们从形上对这些角有一个很好的直观感受.第二，通
11、过具体的例子，比如-32，让学生找出几个与-32终边相同的角，通过运算发现联系：“它们都与-32相差360的整数倍”，然后进行量化表达，得出所有与-32终边相同角的表达式，再将-32推广到一般角a其实这里用到了从特殊到一般、从具体到抽象、通过运算发现规律等方法，这是数学地探索事物性质的普遍方法.另外，对于终边相同角的认识过程还反映了从定性到定量的研究数学问题的基本策略，以及数形结合的数学思想，让学生从几何与数量关系角度加强认识.，教学支持条件分析为了加强学生对任意角的旋转量与旋转方向，以及终边相同角之间联系与区别的直观感受，需要利用信息技术工具（如GeoGebra ）动态地进行了展示.五、教学
12、过程设计1.独立阅读，明确任务问题1请同学们先观察章头图并阅读第五章章引言，再回答如下问题:（1）本章将要学习的函数是什么？（2）这种函数主要可以解决我们实际生活中的哪类问题？你能举出具体例子吗？（3）你能简单说说以前研究函数的过程与方法吗？师生活动：学生独立阅读教科书，通过阅读，明确本章将要学习的主要内容以及学习方法.（1）本章将要学习的函数是三角函数；（2）三角函数可以用来刻画现实生活中的一些周期现象，例如单摆运动、弹簧振子、圆周运动、交变电流、潮汐等；（3）研究函数的一般思路是：先给出函数的定义，通过定义作出图象，再由图象研究性质，最后是函数的应用.设计意图：明确本章研究内容、目的、简单
13、的过程和方法，为本章的研究指明方向.2 .创设情境，引出问题引导语：我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”变化现象，圆周运动是这类现象的代表.问题2如图1,。上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转，如何刻画点P的位置变化呢？p师生活动：学生独立思考，教师通过链接（GeoGebra ）动画让学生清楚：圆周上点的运动可以通过角的变化进行刻画.说明：“刻画”这个词用在问题2中虽然比较准确，但学生可能不能理解它的含义，因此，我们可以用信息技术（如GeoGebra）将这种旋转的过程体现出来，尤其是将线段OP用鲜艳的颜色突显出来，学生自然就会想到点P的运动可以看成是由线段的运动带动点的运动（其实就
14、是射线的运动带动了点的运动），由此让学生可以理解，这种“刻画”就是“描述”“反映”等，另外，主要让学生可以发现圆周上点的运动与角的关系.设计意图：通过具体问题引出本节课的研究主题角.3 .分析事例，归纳特征问题3我们以前所学角都在0360的范围内，生活中有超出0360。角的例子吗？请你举例说明.师生活动：学生独立思考，并回答问题.预设答案：体操中前空翻转体540度”“后空翻转体720度”（如图2）;如果要将钟表调快一个半小时，那么分针就会顺时针旋转超过360（如图）.图2(1)图2(2)追问1:这些角的不同，体现在哪几个方面？师生活动：可以通过学生简单的讨论，发现角的不同体现在两个方面：一是大
15、小；二是方向.设计意图一方面加强数学与我们现实生活的联系说明学习数学是有用的;另一方面，学生在用语言描述这些超出0360角的时候，会发现用静态角的定义不再适合，让他们体会到：要想说清楚这些角，有必要将角的范围进行拓展，而且需要从动态的角度重新定义角.追问2:假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？从几个方向描述角？师生活动：学生独立思考并回答得出结果：逆时针旋转；分针会旋转450。（链接GeoGebra动画）.比如校准前如图3（1）,校准后应该为图3（2）.图 3 (13图3设计意图：通过这个具体的例子让学生理解：要想说清楚一个角，包括两个方面，一是旋转方向；二是旋转量.追问3:以上问题中对角的描述的共性是什么？师生活动：学生共同回答出角的大小及旋转方向.设计意图：通过这个具体的例子进一步让学生体会：要想说清楚一个角，包括两个方面：一是旋转方向；二是旋转量.4 .通过阅读，获得概念问题4请同学们先阅读课本第168页最后一段至第169页最后一段，再回答下列问题：根据旋转方向的不同，角可以分为哪几类？分别是什么？这种定义方法和分类办法是与之前的哪个知识进行类比的？师生活动：学生独立阅读课文，再举手回答上述问题.预设答案：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做
