《2012届高考数学一轮复习 7.6 直线与圆的位置关系教案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2012届高考数学一轮复习 7.6 直线与圆的位置关系教案(8页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、7.6 直线与圆的位置关系知识梳理直线和圆1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点,即把圆的方程和直线的方程联立成方程组,利用判别式来讨论位置关系.0,直线和圆相交.=0,直线和圆相切.0,直线和圆相离.方法二是几何的观点,即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.dR,直线和圆相交.d=R,直线和圆相切.dR,直线和圆相离.2.直线和圆相切,这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3.直线和圆相交,这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.点击双基1.(2005年北京海淀区期末练习题
2、)设m0,则直线(x+y)+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为A.相切 B.相交C.相切或相离 D.相交或相切解析:圆心到直线的距离为d=,圆半径为.dr=(m2+1)=(1)20,直线与圆的位置关系是相切或相离.答案:C2.圆x2y24x+4y+6=0截直线xy5=0所得的弦长等于A. B. C.1 D.5解析:圆心到直线的距离为,半径为,弦长为2=.答案:A3.(2004年全国卷,4)圆x2+y24x=0在点P(1,)处的切线方程为A.x+y2=0 B.x+y4=0C.xy+4=0 D.xy+2=0解法一:x2+y24x=0 / y=kxk+x24x+(kxk+)2=0.该二次方程应
3、有两相等实根,即=0,解得k=.y=(x1),即xy+2=0.解法二:点(1,)在圆x2+y24x=0上,点P为切点,从而圆心与P的连线应与切线垂直.又圆心为(2,0),k=1.解得k=,切线方程为xy+2=0.答案:D4.(2004年上海,理8)圆心在直线2xy7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,4)、B(0,2),则圆C的方程为_.解析:圆C与y轴交于A(0,4),B(0,2),由垂径定理得圆心在y=3这条直线上.又已知圆心在直线2xy7=0上,解得x=2,联立 y=3,2xy7=0. 圆心为(2,3),半径r=|AC|=.所求圆C的方程为(x2)2+(y+3)2=5.答案:(x2)2+(
4、y+3)2=55.若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点,则k的取值范围是_.解析:利用数形结合.答案:1k1或k=典例剖析【例1】 已知圆x2+y2+x6y+m=0和直线x+2y3=0交于P、Q两点,且OPOQ(O为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径.剖析:由于OPOQ,所以kOPkOQ=1,问题可解.解:将x=32y代入方程x2+y2+x6y+m=0,得5y220y+12+m=0.设P(x1,y1)、Q(x2,y2),则y1、y2满足条件y1+y2=4,y1y2=.OPOQ,x1x2+y1y2=0.而x1=32y1,x2=32y2,x1x2=96(y1+y2)+4y1y2.m=3,此时0
5、,圆心坐标为(,3),半径r=.评述:在解答中,我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧,但必须注意这样的交点是否存在,这可由判别式大于零帮助考虑.【例2】 求经过两圆(x+3)2+y2=13和x2+(y+3)2=37的交点,且圆心在直线xy4=0上的圆的方程.剖析:根据已知,可通过解方程组得圆上两点,(x+3)2+y2=13,x2+(y+3)2=37 由圆心在直线xy4=0上,三个独立条件,用待定系数法求出圆的方程;也可根据已知,设所求圆的方程为(x+3)2+y213+x2+(y+3)237=0,再由圆心在直线xy4=0上,定出参数,得圆方程.解:因为所求的圆经过两圆(x+3)2+y
6、2=13和x2+(y+3)2=37的交点,所以设所求圆的方程为(x+3)2+y213+x2+(y+3)237=0.展开、配方、整理,得(x+)2+(y+)2=+.圆心为(,),代入方程xy4=0,得=7.故所求圆的方程为(x+)2+(y+)2= .评述:圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,若圆C1、C2相交,那么过两圆公共点的圆系方程为(x2+y2+D1x+E1y+F1)+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(R且1).它表示除圆C2以外的所有经过两圆C1、C2公共点的圆.特别提示 在过两圆公共点的图象方程中,若=1,可得两圆公共弦所
7、在的直线方程.【例3】 已知圆C:(x1)2(y2)225,直线l:(2m+1)x+(m+1)y7m4=0(mR).(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点;(2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.剖析:直线过定点,而该定点在圆内,此题便可解得.(1)证明:l的方程(x+y4)+m(2x+y7)=0.得mR, 2x+y7=0, x=3,x+y4=0, y=1,即l恒过定点A(3,1).圆心C(1,2),AC5(半径),点A在圆C内,从而直线l恒与圆C相交于两点.(2)解:弦长最小时,lAC,由kAC,l的方程为2xy5=0.评述:若定点A在圆外,要使直线与圆相交则需要什么条件呢?
8、思考讨论 求直线过定点,你还有别的办法吗?闯关训练夯实基础1.若圆(x3)2(y+5)2r2上有且只有两个点到直线4x3y=2的距离等于1,则半径r的范围是A.(4,6) B.4,6) C.(4,6 D.4,6解析:数形结合法解.答案:A2.(2003年春季北京)已知直线ax+by+c=0(abc0)与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为a、b、c的三角形A.是锐角三角形 B.是直角三角形C.是钝角三角形 D.不存在解析:由题意得=1,即c2=a2+b2,由a、b、c构成的三角形为直角三角形. 答案:B3.(2005年春季北京,11)若圆x2+y2+mx=0与直线y=1相切,且其圆心在y轴的
9、左侧,则m的值为_.解析:圆方程配方得(x+)2+y2=,圆心为(,0).由条件知0.又圆与直线y=1相切,则0(1)=,即m2=3,m=.答案:4.(2004年福建,13)直线x+2y=0被曲线x2+y26x2y15=0所截得的弦长等于_.解析:由x2+y26x2y15=0,得(x3)2+(y1)2=25.知圆心为(3,1),r=5.由点(3,1)到直线x+2y=0的距离d=.可得弦长为2,弦长为4.答案:45.自点A(3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在的直线与圆x2y24x4y70相切,求光线l所在直线的方程.解:圆(x2)2(y2)21关于x轴的对称方程是(x2)
10、2(y2)21.设l方程为y3k(x3),由于对称圆心(2,2)到l距离为圆的半径1,从而可得k1,k2故所求l的方程是3x4y30或4x3y30.6.已知M(x0,y0)是圆x2+y2=r2(r0)内异于圆心的一点,则直线x0x+y0y=r2与此圆有何种位置关系?分析:比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.解:圆心O(0,0)到直线x0x+y0y=r2的距离为d=.P(x0,y0)在圆内,r,故直线和圆相离.培养能力7.方程ax2+ay24(a1)x+4y=0表示圆,求a的取值范围,并求出其中半径最小的圆的方程.解:(1)a0时,方程为x2+(y+)2=,由于a22a+20恒成立,a0且aR时
11、方程表示圆.(2)r2=4=42()2+,a=2时,rmin2=2.此时圆的方程为(x1)2+(y1)2=2.8.(文)求经过点A(2,4),且与直线l:x+3y26=0相切于(8,6)的圆的方程.解:设圆为x2+y2+Dx+Ey+F=0,依题意有方程组3DE=36,2D+4EF=20,8D+6E+F=100. D=11,E=3,F=30.圆的方程为x2+y211x+3y30=0.(理)已知点P是圆x2+y2=4上一动点,定点Q(4,0).(1)求线段PQ中点的轨迹方程;(2)设POQ的平分线交PQ于R,求R点的轨迹方程.解:(1)设PQ中点M(x,y),则P(2x4,2y),代入圆的方程得(
12、x2)2+y2=1.(2)设R(x,y),由=,设P(m,n),则有m=,n=,代入x2+y2=4中,得(x)2+y2=(y0).探究创新9.已知点P到两个定点M(1,0)、N(1,0)距离的比为,点N到直线PM的距离为1,求直线PN的方程.解:设点P的坐标为(x,y),由题设有=,即=,整理得x2+y26x+1=0. 因为点N到PM的距离为1,|MN|=2,所以PMN=30,直线PM的斜率为.直线PM的方程为y=(x+1). 将代入整理得x24x+1=0.解得x1=2+,x2=2.代入得点P的坐标为(2+,1+)或(2,1+);(2+,1)或(2,1).直线PN的方程为y=x1或y=x+1.
13、思悟小结1.直线和圆的位置关系有且仅有三种:相离、相切、相交.判定方法有两个:几何法,比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小;代数法,看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数.2.解决直线与圆的位置关系的有关问题,往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化.教师下载中心教学点睛1.有关直线和圆的位置关系,一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定.2.当直线和圆相切时,求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径,求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形;与圆相交时,弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形.3.有关圆的问题,注意圆心、半径及平面几何知识的应用.4.在确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时,经常要用到距离,因此,两点间的距离公式、点到直线的距离公式等应熟练掌握,灵活运用.拓展题例【例1】 已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0,一定点为A(1,2),要使过定点A(1,2)作圆的切线有两条,求a的取值范围.解:将