《简单优化模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《简单优化模型（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、渡河问题终点、八、400水流方向m起点 图 1问题一：(u cos0 + v)* T 二 L (1) u sin 0 * T 二 H(2)u cos 0由(1)得u sin 0LvTH(3)(4)解得 u L - vT0 arccos uT设河流两岸为平行线，起点至终 点的横向距离为1000 米，河流宽度 为 400 米，见图 1。请你借助数学模 型解决如下问题：（1）假定在渡河过程中小船的速度 大小和方向不变，且区域中每点的 水速均为 1.2 米/秒。试说明小船到 达终点的最短时间是沿着怎样的路 线前进的，设小船到达终点的最短 时间是 500 秒，求小船速度的大小 和方向？（2）如何根据小船
2、自身的速度选择 渡河方向，试为一个速度能保持在 1.1 米/秒的小船选择渡河方向，并估计它到达终点的最短时间？（3）当小船以垂直河岸的方向行驶时，通过数学建模指出它能否到达终点？（4）若水速离岸边距离的分布为 （设从起点垂直向上为 y 轴正向） ：I米/秒，0米 y 100米 v（y） = S2米/秒，100米 y 300米 、1 米 / 秒，300米 y 0时，也即u v .(7)H 2 + L，取较短的时间得到rvL JV2L2 (V2 U2)(L2 + H2)1,2V 2 U 2vL ：V 2 L (v 2 U 2)(L + H 2) (8)T =(8)(本题中 v u),v2 U2L
3、vT9 = arc cos(9),UT所求T,9有解的必要条件是(7)式成立问题四：方法一：（较具一般性，容易推广到水速分为更多段的情况）模型建立：对于三段水速的问题可以建立各个量满足的关系如下（已知u,v ,H ,L）ii（u cos9 + v ）* T = L （10）i i i iusin9 *T = H（11）i ii L = L（12）ii=1本问题可以归结为在已知u,v ,H ,L，且9 ,T满足（10）、（11）、（12）的前提下，求i ii imin T = Ti i=1H由（11）可得T =一i, i = 1,2,3，再由（10）及（12）式可得本问题的数学模型如i u si
4、n9i下：目标函数 minT = f （9 ,9 ,9 ） = （09 兀）1 2 3usin9ii =1i约束条件：（U COs9i ：vi）Hi = Lu sin9模型求解：本问题是一个多元函数的条件极值问题，构造辅助函数F (0,0 ,0)二 f (0,0 ,e)+ M 仏 cos?,)H l1 2 31 2 3u sin 0i=1if(0 ,0 ,0 )的极值点满足如下方程组：123=0ar一aoaF一ao2ar同=0经计算偏导数并化简可得彳3(u cos 0 + v )Hii i = Liu sin 0i=1n九ucos 0 =-1 1 + 九v1c九ucos 0 =-2 1 + 九
5、vc九ucos 0 =-3 1 + 九v3(u cos0 + v )H =u sin 0i=1i(13)(14)(15)(16)将(13)、(14)、(15)及sin 0 = 1 -2 i=23,代入（16）得到一个关系九=0i一九u的一元无理方程，在九满足-1 1 ,i = 1,2,3的前提下可以用求方程近似解的方法1 +入vi（如二分法）求出九，并进而求出0与T。i关于二分法求根的讨论：1由一1 1 ,i = 1,2,3 可得一 九1 + 入vv + ui2 令 a = + 0.01 , b = i 0.01 , c =v +uu -v221 f (九)仝(ucos0i ：)Hi L，其中
6、 cos0 =占u sin 0i1 + 九vi=1ii1 0，则将c值赋给a，否则将c值赋给b，当丨a b l 0.001时结束计算, 输出 c 值。方法二：第四问也可以用L为自变量，建立一元简单优化模型，通过一元函数最小值的计算找出 2问题的答案。（米）V L i： V 2L 2 (v 2 U2)(L 2 + H 2 )2 2 2 2 2 2 2V 2 U2（以为自变2量），目标函数minT二2T + T ,12v L Jv 2L2 (v 2 u2)(L2 + H2)T =iiii11V2U21约束条件：1V L JV 2L 2 (V 2 U2)(L 2 + H 2 ) T 2 2222222V 2 U22(1000L)L =1 L 10002这是以 L 为自变量的一元函数求最小值的问题，相对而言比较容易求解。 2（以强渡长江为例，具体模型可参考下面的图片）
