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1、面 aA 3= C.求证：AB/ C.直线 b 3,且 ABa, ABb,la, a与b确定的平面设为T因为a la, AB la,所以 ABJa,又 ABJb, a n b=B,所以 AB直线与平面、平面与平面垂直的性质（复习课）【常考题型】题型一、线面、面面垂直的综合问题【例1】如图，已知直线a %证明如图，过点B作直线a因为b3, c? 3,所以blc.因为aLz, c? %所以aJc,又a a,所以a !c.由可得cT,又ABM 所以AB /C.【类题通法】判断线线、线面的平行或垂直关系，一般要利用判定定理和性质定理，有时也可以放到特 殊的几何体中（如正方体、长方体等）然后再判断它们的
2、位置关系.【对点训练】1.如图所不平面 % 3,直线a,且a_L 3, aCl 3= AB求证：a 3证明：1.a /a,过a作平面丫交a于a,则a/a.a JAB,. a必B.-a_L3, aCl 3= AB ,. a邛，.alp.题型二、求点到面的距离【例2】 已知 ABC, AC=BC = 1, AB=W，又已知 S是 ABC所在平面外一点， SA = SB=2, SC=W，点P是SC的中点，求点 P到平面ABC的距离.解法一：如图所示，连接 PA, PB.易知SAC,那CB是直角三角5形，所以 SA_LAC, BC1AC./取 AB、AC 的中点 E、F,连接 PF, EF, PE,贝
3、U EF/BC, PF/SA.所以 EF1AC, PF1AC.尸V因为PF A EF = F,所以 AC,平面PEF.又PE?平面PEF,所以PE1AC.易证ASAC0相BC.因为P是SC的中点，所以PA=PB.而E是AB的中点，所以 PE必B.因为ABAAC = A,所以PEL平面ABC.从而PE的长就是点P到平面ABC的距离.在 RtMEP 中，AP = 2sC=中, AE=；AB = ，所以 PE=正2AE2 =、/5二2 =喙,33即点P到平面ABC的距离为谖.法二：如图所示，过 A作AE/BC,过B作BF/AC,交AE于点D, 则四边形ACBD为正方形.连接 SD.因为 AC6A,
4、AC1AD, SAP AD = A,所以 AC,平面 SDA.所以AC1SD.又由题意，可知 BC1SB.因为BC1BD, SBABD = B,所以BCL平面SDB,所以BC6D.又 BCAAC = C,于是 SDL平面ACBD.所以SD的长为点S到平面ABC的距离.在 Rt夕DA 中易得 SD= SA2-AD2 =22-12 =，3.因为P为SC的中点，故点P到平面ABC的距离为 /=坐【类题通法】求点到面的距离的关键是确定过点与平面垂直的线段.可通过外形进行转化，转化为易于 求解的点，等体积法也是求点到平面的距离的常用方法.【对点训练】2.如图所示，正四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，
5、底面边长为2M2,侧棱 长为4, E, F分别为棱AB, BC的中点，EFABD = G.(1)求证：平面 BiEF，平面 BDDiBi；(2)求点Di到平面BiEF的距离.解：证明：(i)连接AC；.正四棱柱ABCD AiBiCiDi的底面是正方形，ACJBD.又ACdDD1,且 BDADDi = D,故 AC，平面 BDDiBi,.E, F分别为棱AB, BC的中点，故 EF AC,. EF，平面 BDDiBi ,，平面 BiEF，平面BDDiBi.(2)解题流程:题型三、折叠问题【例3】 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD, E是AB的中点，木、沿DE将 ADE折起.虫(1)如果二面角
6、 ADE C是直二面角，求证： AB = AC;/一? (2)如果AB = AC,求证：平面 ADE，平面BCDE.证明 过点A作AM JDE于点M,则AM，平面BCDE ,. AM JBC.又 AD = AE,. M是DE的中点.取 BC中点N,连接 MN, AN,则 MN 1BC.又 AM JBC, AM A MN=M,. BC,平面AMN,.ANIBC.又N是BC中点，AB=AC.(2)取BC的中点N,连接AN.AB= AC, . AN IBC.取DE的中点 M,连接 MN, AM,MIN IBC.又 ANA MN = N,. BC,平面AMN, . AM dBC.又 M 是 DE 的中
7、点，AD=AE,AMIDE.X -DE与BC是平面BCDE内的相交直线，. AM，平面BCDE.AM?平面 ADE, 平面ADEL平面BCDE.【类题通法】解决折叠问题的策略(1)抓住折叠前后的变量与不变量.般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变,跨过折线的量，折叠前后可能会发生变化，这是解决这类问题的关键.(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况.注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的长度，角度的变化情况.【对点训练】3.如图所示，在平行四边形 ABCD中，已知 AD = 2AB=2a, BD = /3a,. AB2+ BD2= AD2, ABD = 90, .
8、AB1BD.又平面ABD，平面BCD,平面 ABD n平面BCD = BD , AB?平面 ABD,. AB,平面 BCD.(2)二折叠前四边形ABCD是平行四边形，且 ABJBD,. CDdBD；AB，平面 BCD, . ABJCD.又.ABnBD = B,，CD，平面ABD.又CD?平面ACD,平面ACD，平面ABD.【练习反馈】1 .如图所示，三棱锥 P-ABC的底面在平面 ”上，且ACLPC,平面PACL平面PBC,点P, A, B是定点，则动点 C运动形成的图形是()A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点解析：选D 二,平面PAC，平面PBC, ACJP
9、C, AC?平面PAC,且平面 PAC n平面PBC =PC,. AC,平面 PBC.又BC?平面 PBC, . AC dBC, ACB=90, .动点C运动形成的图形是以 AB为直径的圆，除去 A和B两点，故选D.2.在三棱锥 P ABC中，平面 PACL平面 ABC, /PCA = 90, ABC是边长为4的正三 角形，PC=4, M是AB边上的一动点，则 PM的最小值为（）A. 2mB. 2用C. 45D, 4币解析：选B 连接CM,则由题意PC,平面ABC,可得PCJCM,所 以PM=4PC2+CM2,要求PM的最小值只需求出 CM的最小值即可， 在AABC中，当CM 1AB时CM有最
10、小值，此时有 CM = 4x*=2V3,所以PM的最小值为2由.3 .若构成教室墙角的三个墙面记为“，3, %交线记为BA, BC, BD,教室内一点P到三墙面& & 丫的距离分别为3 m, 4 m,1 m ,则P与墙角B的距离为 m.解析：过点P向各个面作垂线，构成以BP为体对角线的长方体.|BP|= /32+42+ 1 = 26.答案：264 .如图所示，平面也平面 3, AC % BC 3, AA LA B , BB LA B,且 AA=3, BB =4, A B =2,则三棱锥 AA BB的体积 V=.解析：由题意AAi,面A BB , BB，面A B A,则三棱锥AA BB中，AA为
11、高, 底面AA BB为 RtA.Va ABB =；AA S 以 BB = !* 3X2 X 4= 4.332答案：45.如图，已知平面 a_L平面 ” 平面 p_L平面.ad尸a, 3rl尸b,且a / b,求证：a/ e /I AZzO#证明：在平面丫内作直线cla.a-L% aCl y= a, -C_La.a 心，cdb.又,3。3n 尸 b,-c_L.3,a/3学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩。”说着，苏格拉底示范做了一遍，
12、从从今天开始，每天做300下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：每天甩手300下，哪个同学坚持了，有 90%的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80%。一年过后，苏格拉底再一次问大家： “请告诉我，最简单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动
13、天帝，移走太行、王屋二山。正是因为他具有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉无们，做事要有恒心。旬子讲：锲锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。”这句话充分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。学习是一条慢长而艰苦的道路，不能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以我说：学习贵在坚持！当下市面上关于教授学习方法的书籍不少，其所载内容也的确很有道理，然而当读者实际应用时，很多看似实用的方法用
14、来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨那本书的华而不实，但最终肯定还是会回归到当初的原点。这本学会学习在一开始并没有急于兜售自己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化自己的优势。在其后书中的所有介绍具体学习方法章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点，这种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉，除了能够得到最适合自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己，不论对学习还是生活都有帮助。除了 “针对性”强外，本书第二大特点就是“全面”，全书都是由一篇篇短文、图表集成，更像是一本博文或者PPT课件合集，每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不太强，每个章节都适合独立检索来阅读
