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1、线性代数综合练习题时间：120分钟一、选择题（每小题3分，共15分）:1设A是三阶矩阵，将A的第一列与第二列交换得B，再把B的第二列加到第三列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为（ ）。（A）； （B）；（C）； （D）。 2设A、B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（ ）。（A）A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关；（B）A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关；（C）A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关；（D）A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关。3下列向量集按Rn的加法和数乘构成R上一个线性空间的是（ ）。（A）Rn中，坐标满足x1+x2+xn=0的所有向量；（B
2、）Rn中，坐标是整数的所有向量；（C）Rn中，坐标满足x1+x2+xn=1的所有向量；（D）Rn中，坐标满足x1=1，x2， xn可取任意实数的所有向量。4设=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵（A2）-1有一个特征值等于（ ）。（A）； （B）； （C）； （D）。 5任一个n阶矩阵，都存在对角矩阵与它（ ）。（A）合同； （B）相似； （C）等价； （D）以上都不对。二、填空题（每小题3分，共15分）1设矩阵A=，矩阵B满足：ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，E是三阶单位矩阵，则|B|= 。2已知线性方程组无解，则= 。3若A=为正交矩阵，则= ，= 。4设A为n阶矩阵，且
3、|A|0，A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。若A有特征值，则（A*）2+E必有特征值 。5若二次型f= 2x12+x22+x32+2 x1 x2+t x2 x3是正定的，则t的取值范围是 。三、（15分）设有齐次线性方程组： 试问取何值时，该方程组有非零解？并用一基础解系表示出全部的解。四、（10分）设R3的两组基为：和，向量=（2，3，3）T（1）求基到基的过渡矩阵；（2）求关于这两组基的坐标。五、（15分）设三阶实对称矩阵A的特征值为1 = -2，2 = 1（2重），1=（1，1，1）T是属于1 = -2的特征向量。试求：（1）属于2 = 1（2重）的特征向量；（2）A的伴随矩阵A*。
4、六、（10分）设二次型通过正交变换化为：，求、。七、（10分）已知A ，B为n阶可逆方阵，且满足2A-1B=B-4E，其中E是n阶单位矩阵，试证：A-2E可逆。并求出（A-2E）-1=？八、（10分）设为阶矩阵，且，其中是中元素的代数余子式（=1，2，n）。试证：的伴随矩阵*的特征值是0和1，并说明各个特征值的重数。线性代数综合练习参考答案一、选择题：1（D）；2（A）；3（A）；4（B）；5C）；二、填空题： 1；2-1；3 ，；4；5-三、解：A=（1）当=0时，r(A)=14，故齐次线性方程组有非零解，其同解方程组为：x1+x2+x3+ x4=0由此得一基础解系为：， 故全部解为： （其
5、中为任意常数）（7分）（2）当0时，当=-10时，r（A）=34，故齐次线性方程组也有非零解，其同解方程组为：，解之，可得一个基础解系为：y=（1，2，3，4）T，故全部解为：X=ky（其中k为任意常数）（15分）备注：此题也可另解|A|=（+10）3当|A|=0时，即=0或=-10时，齐次线性方程组有无穷解。四、解：（1）记B=（）=，C=（）=则有： 从而，由基到基的过渡矩阵为：A=B-1C=（5分）（2）设关于基的坐标为（）即：由此可得：，解之得：，故关于基的坐标为（0，1，1），又=即关于基的坐标为（1，1，2）（10分）五、解：（1）设A的属于特征值2=1（2重）的特征向量为（x1，
6、x2，x3）T，则A是实对称矩阵，（x1，x2，x3）T与1正交，即有：（x1，x2，x3）=0，也即：x1+x2+x3=0，解之：2=（-1，1，0）T3=（-1，0，1）TA的属于2=1的全部特征向量为：k12+ k23（k1，k2不同时为0）（5分）（2） A*=|A|A-1A*的特征值为：|A|（-），|A|1（2重） 又|A|=-2 A*的特征值为：1，-2（2重）（10分）A*（1，2，3）=（1，2，3）A*=（1，2，3）（1，2，3）-1=（15分）六、解：f的正交变换前后的矩阵分别为： 和于是，A、B相似，从而有相同的特征多项式即：|E-A|=|E-B|（5分）也即：3-32+（2-a2-b2）+（a-b）2=3-32+2，比较上式等号两边的各幂次项系数有：（10分）七、证明：2A-1B=B-4E左乘A，得：2B=AB-4A（5分）即：AB-2B-4A=0（A-2E）（B-4E）=8E故A-2E可逆，且（A-2E）-1=（B-4E）（10分）八、证明：r（A）=n-1 r（A*）=1（2分）又齐次线性方程组（0E-A*）X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量，0是A*的特征值，其重数不小于n-1（5分）另外，tr（A*）= A11+A22+Ann =1+2+n-1+n =1（8分）故有：1是A*的单特征值； 0是A*的n-1重特征值。（10分）
