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1、 学科分类号 本科生毕业设计论文题目（中文）： 行列式的计算 （英文）：The Calculation of Determinant 学生姓名： 学号： 系别：数学与应用数学系专业：数学与应用数学指导教师：邓翠容起止日期： 本科毕业论文（设计）诚信声明作者郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是在指导老师的指导下，独立进行研究所取得的成果，成果不存在知识产权争议。除文中已经注明引用的内容外，论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的成果。对论文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确的方式标明。本声明的法律结果由作者承担。本科毕业论文（设计）作者签名：年 月 日目 录摘 要I关键词I
2、AbstractIKey wordsI1前言12行列式的定义及其性质23针对各种行列式的一般结构特点归纳出常用的计算方法93.193.2113.3163.4183.5213.623参考文献26致 谢27附 录行列式的计算摘 要行列式是解决线性代数的工具，它的产生和最早的应用都是在解线性方程组中，现在的应用范围已拓宽得较为广泛，成为数学、物理学以及工科许多课程的重要工具。行列式的计算问题非常重要，它是行列式理论的重要组成部分。计算行列式的一般方法是不存在的（若不计在行列式定义中所给出的表达式的话）。处理特殊类型的行列式应用着各种不同的计算方法，这些方法可以简化行列式的计算。本文第一部分是一般行列
3、式的计算方法，介绍了定义法、化为上（下）三角形法、典型字母行列式法、利用“奇数阶反对称行列式等于零”的性质、降阶法、升阶法、拆项法、递推法、数学归纳法、分离线性因子法、公式法、元素变形法、乘积法、乘以已知行列式法、辅助法并且这16种方法对应相应的例题。第二部分是分块矩阵的行列式的计算方法。 关键词行列式；线性代数；计算方法The Calculation of DeterminantAbstractThe determinant is a tool to solve the linear algebra, its emergence and the earliest application ar
4、e in solving linear equations, now the application scope get broader and broader and become the important tool for many courses,for example mathematics, physics and engineering and so on. The calculation of determinant is very important, it is an important part of the theory of the determinant. The
5、general method of calculating the determinant is not exist (if it is neglected in determinant definition of the given expression). To deal with some special type of determinantshould applicate various calculation method, these methods can simplify the calculation of determinant The first part of thi
6、s text is general calculation method of determinant and it introduces the definition method, into the upper (lower) triangle method, typical letters determinant method, using odd number order antisymmetry determinant equals to zero nature, order reduction method, order addition method, tear open stu
7、dy method, the recursive method, mathematical induction, separation linear factor method, formula method, element shape-shifting method, product method, multiplied by the known determinant method, auxiliary method and gives the corresponding sample to this16 kinds of methods. The second part is the
8、calculation methods of partitioned matrix determinant. Key wordsDeterminant；the linear algebra；calculation methodII1 前言 行列式最早出现在十六世纪关于线性方程组的求解问题，时至今日行列式的应用却远不及如此，它在消元法，矩阵论，坐标变换，多重积分中的变量替换，解行星运动的微分方程，二次型有广泛应用，它不仅是线性代数的核心和基础，也是线性代数理论中极其重要的组成部分。近些年，已有许多作者探究过行列式的性质及其计算方法，如张曰云的“n 阶r- 循环行列式的计算”，陈炜的“用间接递推法
9、计算行列式”等。通过对行列式的定义性质及计算方法的探究，了解到行列式是一定是方阵，也就是行数和列数相等。行列式是矩阵的所有不同行且不同列的元素之积的代数和，和式中每一项的符号由积的各元素的行指标与列指标的逆序数之和决定：若逆序数之和为偶数，则该项为正；若逆序数之和为奇数，则该项为负。当然根据定义对行列式进行计算是一种方法，但如果行列式的阶数较高的话，用定义去求解的话会比较麻烦，所以根据行列式某些结构特点探究一些较简便的计算方法将具有重要意义。下面来介绍一下全文的结构，来帮助大家认识整篇文章的大意。全文共分为三个部分，第一部分介绍行列式的定义及其性质，第二部分针对各种行列式的一般结构特点归纳出常
10、用的计算方法，第三部分对结构较复杂的行列式归纳出特殊的计算方法，并加以总结。上面对全文有了一个整体的概括，接下来将具体细致的对三个部分进行论述。 2行列式的定义及其性质 21逆序数21.1 定义个互不相等的正整数任意一种排列为：，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用表示，等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和。例如： 21.2 性质一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即 。证明如下：设排列为，作次相邻对换后，变成，再作次相邻对换后，变成，共经过次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加1 ，要么减
11、少1 ，相当于，也就是排列必改变改变奇偶性，次相邻对换后，故原命题成立。 22阶行列式的定义及拓展【例1】展开三阶行列式： 解: 方法：固定行号1，2，3；列号可任意排列为，所有可能排列相应的逆序数如下，共计种。故2.3 阶行列式展项的特点 阶行列式展开后，共有项，每一项中唯一包含且必须包含每一行和每一列中的一个元素，不能重复和也不能缺少，理解这一特点可以很快计算出结论只有少数几项的行列式。2.4 符号意义 中，代表第3行的全部元素； 表第5列的全部元素；余类推。不要错误理解为一个元素；行列式-determinant,故常常把写成。行-row, 一般用表示第一行与第二行对换，余类推。列-col
12、umn, 用表示第二列与第七列对换，余类推。2.5当行列式的元素是的函数，对行列式一阶微分时（以三阶为例），有下列关系：2.6阶行列式的5大性质性质1：转置（行与列顺次互换）其值不变。性质2：互换任意两行（列）其值变号。性质3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。性质4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。性质5：把行列式某行（列）倍后再加到另一行（列），其值不变。行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。评 注 对性质4的重要拓展： 设阶同型矩阵，而行列式只是就某一列分解，所以，应当是个行列式之和，即。 以我们经常遇到三阶行列式的特征值问
13、题举例如下：其中，表示取被展开的行列式中的各列的第一子列，余类推。特别地，如特征值行列式中，有两行或两列对应成比例，上述公式可以简化为：评 注 韦达定理的一般形式为： 2.7行列式元素的余子式展开和阶子式的余子式展开定理2.7.1余子式的概念元素的余子式：把行列式中某元素所在的行与列全部划掉，剩余的元素组成的新行列式，称为该元素的余子式，用表示。如果再考虑余子式的符号，则称该元素的代数余子式，用表示。 阶子式的余子式：把行列式中任意指定行与列的交叉元素组成的子行列式（称阶子式）所在的行与列全部划掉，剩余的元素组成的新行列式，叫阶子式的余子式，也用表示。如果再考虑余子式的符号，则称阶子式的代数余
14、子式，用表示。 其中：为所在的行的具体序号；为所在的列的具体序号。例如：中，二阶子式的余子式为；二阶子式的代数余子式为。2.7.2 行列式按某一行或一列元素的代数余子式展开定理 评 注 元素的代数余子式与该元素无关，行列式按某一行元素的代数余子式展开形式中，代数余子式前面乘以不同的系数就可以得到不同的行列式。 如果把上述等式两边的中括号里的元素换成不同的值，就变成不同的行列式了。2.7.3 行列式按阶子式的代数余子式展开（拉普拉斯定理）： 下面是经常使用的两个特殊的拉普拉斯展开式： 2.8莱姆法则2.8.1 克莱姆法则元非齐次方程组：方程有唯一解：。其中是将中的第列元素换成常数，其余元素不变而得到的行列式。如果，对应方程组叫齐次方程组。2.8.2 克莱姆法则的应用范围 只适用于方程的个数与未知数个数相等的情形；，克莱姆法则失效，方程可能有解，也可能无解；齐次方程组总是有解，当无穷多个解（有非零解）；只有唯一的零解。求解：方法一： 方法二：利用拉普拉斯展开： 【例】设行列式 ，则有多少个根？
