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1、A.eB.eD.解析设(x ,0知 ylxln x)是曲线y=ln x与直线y=kx的切点,0由已知条件：ln x1x01x = x =一 0x011 ，解得 x =e, k=.x0e 01.设f(x) = 3x3 + ax2 + 5x + 6在区间1,3上为单调函数，则实数 a的取值范围为()A. 吕+呵B. (I3C. (8,3UV5,+s)D. 5 石答案 Cf (1)W0,解析f (x)=x2 + 2ax + 5,当fx)在1,3上单调递减时，由0 得aW - 3;f (3)W0H0,当fx)在1,3上单调递增时,f (x)20恒成立，则有J = 4a2-4X5W0或彳- a0,或3,
2、f (3)三0，得 aW-；5,+8).综上a的取值范围为(-8,-3U-“j5+8),故选C.).4已知直线y=kx是y=ln x的切线，则k的值为(答案 C 二、填空题 8设函数f(x) =x(ex+1)+*X2,则函数f(x)的单调增区间为 解析：因为 f(x) =x(ex+l)+*X2, 所以 f(x) =ex+1 + xex+x= (ex+l)(x+1).令 f(x)0,即(ex+l)(x+l)0，解得 x l.所以函数f (x)的单调增区间为(一1,+).答案：(一1,+兀)12. 已知函数 f(x) =X2(xa).若f(x)在(2,3)上单调则实数a的范围是；若f(x)在(2,
3、3)上不单调，则实数a的范围是.(2a 解析 由 f(x)=X3 ax2得 f(x) =3x2 2ax=3x x .I 3丿厂2a3 HO，若f(x)在(2,3)上不单调，则有2a解得：3a|答案9,)(9)3 U，3，石l_2丿(2丿2寸 0,即(-x2+2)ex0,Vex0,-x2+20,解得-x0,x2-(a-2)x-a$0对xR都成立.因此应有 A=(a-2)2+4aW0,即a2+4W0,这是不可能的.故函数f(x)不可能在R上单调递减.14. 已知 f(x) =exaxl.(1) 求f(x)的单调增区间；(2) 若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围. 解析：(1)Tf(x)
4、=exax1,.f(x)=exa.令 f(x)0,得 exa,当aWO时，有f(x)0在R上恒成立；当 a0 时，有 xln a.综上，当aWO时，f(x)的单调增区间为(一g,+x)； 当a0时，f(x)的单调增区间为lna，+x).(2)由(1)知 f(x) =exa.Tf(x)在R上单调递增，：f(x) =exaO恒成立， 即aWex，xeR恒成立.*.*xGR 时，exe (0，+)，.aWO.即a的取值范围为(一g, 0.15. 已知函数 f(x)=x3 axl(1) 若f (x)在(g,+x)上单调递增，求实数a的取值范围；(2) 是否存在实数a,使f(x)在(一1,1)上单调递减
5、？若存在，求出a的取值范围; 若不存在试说明理由.解析(1)f(x)=3x2 a由 A0,即 12aW0,解得 aWO,因此当f (x)在( x,+x)上单调递增时，a的取值范围是(一g, 0.(2)若f(x)在(一1,1)上单调递减，则对于任意xe (1,1)不等式f z(x) =3x2 aWO恒成立即 a3x2，又 xe ( 1,1)，则 3x20)与双曲线寻- =l(a0, b0) 有相同的焦点F,点A是两曲线的交点，且AF丄x轴，则双曲线的离心率为解析 依题意，得F(p,0)，因为AF丄x轴，设A(p, y), y0, y2 = 4p2，所以 y = 2p.所以A(p,2p).又点A在
6、双曲线上，所以务-备=1.又因为c=p,所以 02 - c2-a2 = 1，化简，得 c4 - 6a2c2 + a4 = 0,即)4 - 6日2 + 1 = 0所以 e2 = 3 + 20, b0)的左、右焦点分别为行和F2,线段F1F2被抛物线y2 = 2bx的焦点分成5 : 3两段，则此双曲线的离心率 为.解析抛物线的焦点坐标为(2 0)由题意知b2 - c)5-b = 3， c = 2b，所以 c2 = 4b2 = 4(c2 - a2),即 4a2 = 3c2，所以 2a = l3c, c_2c23e = = = = 1a y33 -答案 答案 3所以10. (2012年东北四校模拟)过
7、双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点为M，若AMAB是直角三角形，则此双曲线的离心率e =()3A-2B. 2Ca/2解析：设双曲线方程为令-Da；3=MF 又 又 AF =b2b2b2 = 了所以 a + c = j即 a2 + ac = c2 - a2, e2 - e - 2 =0,解得e = 2或e =- 1(舍).答案： B11. 已知A，B为椭圆a2+bl =1(ab0)的左、右顶点，上顶点C(0, b)，直线l： x=2a与x轴交于点D，与直线AC交于点P，且BP平分ZDBC，则此椭圆的离心率为()1a.2B.c29d.x解析：直线AC的方程
8、为丄+a=1 ,即 bx - ay + ab = 0 ,联立bx ay + ab = 0,x = 2a,fx = 2a, 解得Lb,x故点P(2a,3b).同理，直线BC的方程为匚+a=1,即bx + ay-ab = 0.因为BP平分ZDBC,由角平分线定理，得点P到边BC 的距离等于点P到边BD的距离，即先+严=込得4a = 3、E，则c16a2 = 9(a2 + b2),所以 7a2 = 9b2.故 7a2 = 9(a2 - c2),得 9c2 = 2a2,离心率为 e =-= a3 .答案： Dx2 y 2 213. (2015北京卷)已知椭圆C：品+左=1(ab0)的离心率为亍点P(0
9、,1)和点A(m, n)(mHO)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.(1) 求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2) 设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴 上是否存在点Q使得ZOQM=ZONQ?若存在，求点Q的坐标；若不存在, 说明理由.1=1,解(1)由题意得， 解得a2 = 2, a2a2= b2+ c2故椭圆C的方程为孕+y2=1.设 M(xM,0).因为mHO，所以一 1 VnV1.直线PA的方程为y1 =n1x.m所以Xm二戸，即MJ _n(2)因为点B与点A关于x轴对称, 所以 B(m，n)m设n(Xn0)，则兀冋二弔.“存在点Q(O,
10、yQ)使得ZOQM=ZONQ”，等价于“存在点Q(O,yQ)使得Q|_OQi”ONI ，即yQ满足yQ呻吋因为mxM=in_ mXn1+nm2n2 1.所以 yQ|xm|xniin22-所以y厂迈或yQ-逗.故在y轴上存在点Q,使得ZOQMZONQ，点Q的坐标为(0,逗)或 (0,/2).14. (2015.山东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：莹+眷1(ab0)的离心率为耳左、右焦点分别是F1，F2以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；设椭圆E：話+缶一1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+ m交椭圆E于A，B两
11、点，射线PO交椭圆E于点Q.(i)求10黑的值；(ii)求AABQ面积的最大值. 解 (1)由题意知 2a 4，则 a 2又 9 = , a2_c2 = b2,a2可得b=1,所以椭圆C的方程为+y2=l. 由知椭圆e的方程为1x6+y4 =1.(i) 设 P(x0, y0),|Op|=久，由题意知 Q(Xx0,Xy0).因为曾+用=1,又晋+宇=1, 即钢+y0=i， 所以久=2,即牆=2.(ii) 设A(x1，y1), B(x2，y2).将 y= kx+ m 代入椭圆 E 的方程，可得(1 + 4k2)x2+ 8kmx+ 4m2 16= 0，由/0,可得 m2V4 + 16k2,8km4m
12、2 16则有 x1+x2= 1+4k2, X1X2= 1+4k2 .所以 lx1x2l =4f 16k2+4m21+4k2=2m2 ) m21 + 4k2丿 1 + 4k2因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0, m), 所以 AOAB 的面积 S=1+4k22J (16k2+4m2)m2 +4k2lmllx1x2l16k2+4m2lml设1 + 4k2=t,将y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m24 = 0,由/三0,可得m2W1+4k2.由可知OVtWl,因此 S=2寸(4_t)t=2； t2+4t，故 SW2/3,当且仅当t=1,即m2=1+4k2时取得最大值2芒.由(i)知，ABQ面积为3S,所在ABQ面积的最大值为6/3.15. (2015天津卷)已知椭圆a2+b2=1(ab0)的左焦点为F( c,0)，离心率为 W3,点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=b2截得的线段
