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1、单摆的非线性动力学分析张亚兵兰州交通大学车辆工程专业，甘肃兰州， 730070) 摘 要：研究单摆的运动，从是否有无阻尼和驱动力方面来分析它们 对单摆运动的影响.对于小角度单摆的运动，从单摆的动力学方程入 手，借助李雅普诺夫一次近似理论，推导出单摆的运动稳定性情况. 再借助绘图工具ma tlab,对小角度和大角度单摆的运动进行仿真， 通过改变参数，如阻尼大小、驱动力大小等绘出单摆运动的不同相 图，对相图进行分析比较，从验证单摆运动的稳定性情 况.2RpTFbdC9Rb5E2RGbCAP 关键词：单摆；振动；阻尼；驱动力Abstract: The vibration of simple pend
2、ulum is studied by analyzing whether or not damp and drive force its influence of the simple pendulum. For small angle pendulum motion, pendulum dynamic equation from the start, with an approximate Lyapunov theory of stability of motion is derived pendulum situation. Drawing tools with help from mat
3、lab, small angle and wide-angle pendulum motion simulation, by changing the parameters, such as damping size, drive size draw simple pendulum of different phase diagram, analysis and comparison of the phase diagram, from the verification the stability of the situation pendulum movement .2RpTFbdC9Rpl
4、EanqFDPwKey words: simple pendulum。 vibration。 damp。 drive force2RpTFbdC9RDXDiTa9E3d1引言单摆是一种理想的物理模型1，单摆作简谐振动摆角小于 5)时其运动微分方程为线性方程，可以求出其解读解，而当单摆 做大幅度摆角运动时，其运动微分方程为非线性方程，我们很难用 解读的方法讨论其运动，这个时候可以用MATLAB软件对单摆的运动 进行数值求解，并可以模拟不同情况下单摆的运动.随着摆角的减 小，摆球的运动速率将越来越大，而加速度将单调下降，至I时， 加速度取极小值.本文从动力学的角度详细考察了这一过程中摆球的非线性运
5、动，得出了在 关系.2RpTFbdC9RRTCrpUDGiT运动过程中I的图1单摆模型2单摆的线性情况2.1线性单摆的无阻尼振动如图1）所示，一根不会伸缩、长度为的细线，上端固定或 一根刚性轻杆，上端与无摩擦的铰链相连），下端悬挂一质量为 的小球就构成一单摆.当摆角很小时，I ,单摆作简谐振动，令 l，其运动方程为 2RpTFbdC9R5PCzVD7HxAI1）式中，_|称为单摆的固有圆频率，其周期为2） 式（1对时间求一阶导数，得小球的速度3） 由式（1与式（3得4)上式表明单摆的速度一位移曲线图（通常称为相图2为一椭圆 3.图2图无阻尼单摆的相平面轨迹2.2线性单摆的阻尼振动当小球摆动的速
6、度较小时，小球受到一个与速度方向相反的阻力，为阻力系数，它与物体的形状以及周围媒质的性质有关.根据牛顿第二定律有2RpTFbdC9RjLBHrnAILg5)式中，_|称为阻尼因数.对于一定振动系统，根据比值图4有阻尼和驱动力的亠图由图4可以看出，当|时，两条曲线重合，两个解能分辨；但当 |时，两条曲线不再重合，两个解| 、完 全不一样，这种混沌运动对初始条件的敏感性称为蝴蝶效 应.2RpTFbdC9Rrqynl4ZNXI 3.2振幅不同所产生的相图丄为简单计，设方程（6中，除驱动参数 取变值外，其余参数不 变，即对（6式在初始值式 I下利用M ATLAB作计算模拟绘图，相图丄如图6所示.当亠
7、时，振荡周期耳等于外加周期力的周期T， ，应应单周期解，其相图如图5示.图5时，|，对应三倍周期解，其相图如图6示.图6当周期强迫力的振幅达到某一临界值|时， I ，系 统运动出现混沌，其相图如图7示.图74无阻尼和无驱动力单摆的运动（B=0, f =0分方程无阻尼无驱动力情况下，单摆系统为保守系统，系统的运动微变为：I ，状态方程 变为:8)为了将高阶微分方程组降阶，我们首先做如下处理：I）首先把高阶微分方程改写成一阶微分方程组，令二J , |，则于是原二阶微分方程可改写成如下一阶微分方程组10)初始条件为11)II)然后根据上述一阶微分方程组编写M函数文件(即ODE文件, 得到相关相图.w
8、-0图8无阻尼和无驱动力状态下单摆的位移时间图和相图 5结论本文以单摆为研究对象.研究了实际条件下的单摆问题，即含阻 尼的受迫运动.在受迫阻尼运动中，单摆的运动反映出如下特征， 即：2RpTFbdC9REmxvxOtOco(l描述运动特征的动力学方程是非线性的；(2这些非线性的方程是“确定性的”，不包含任何随时间变化 的随机项；（3在某些情况下，系统运动轨道的时间行为存在对初始条件的 敏感性，初始条件的微小差异可能导致结果的变化非常大； 2RpTFbdC9RSixE2yXPq5（4整个系统长期行为的全局特征与初始条件无关.从本文的分析中，结合各种情况下的位移时间图像及相图，我 们可以得出以下结
9、论：1）在摆角较小即I时，单摆其相轨迹是围绕原点的椭圆曲 线，即我们所熟知的简谐运动相轨迹，此时单摆在平衡位置附近作 简谐运动；随着摆角的增加，单摆作非线性振动，周期与摆角 有 关，周期随摆角 的增大而增大.因此，当摆角较大时，单摆运动存 在若干稳定点和鞍点（不稳定点，振动曲线和周期是非线性振动的 结果；2RpTFbdC9R6ewMyirQFL2）在有阻尼和有驱动力的情况下，非线性单摆的振动对初始条 件非常敏感，称为蝴蝶效应；在有阻尼和有驱动力的情况下，若取 某一参数变值由小到大，其余参数不变，非线性振动的相图会出现 由单周期解一倍周期解一四周期解混沌一单周期解，如此反 复.2RpTFbdC9
10、RkavU42VRUs3）单摆系统模型虽然简单，但其中有各种通向混沌的道路.它 的运动行为是极其复杂的，属于复杂系统.参考文献1 王海期.非线性振动M.高等教育出版社，1992，262-2782 刘延柱，陈立群.非线性振动M.高等教育出版社，2001， 163-1693 张德丰.MATLAB数值计算方法M.机械工业出版社，2018, 225-2394 李欣亚，张明路.机械振动M.清华大学出版社，2009，587- 5895 孙中奎，徐伟，杨晓丽.求解强非线性动力系统响应的一种新方 法J.动力学与控制学报，第3卷第2期，2005，29- 352RpTFbdC9Ry6v3ALoS896 陈文涛，龚
11、善初.单摆振动分析J.湖南理工学院学报，第21 卷第 1 期，2008，66-707 Kunihik Kaneko.Oscillation and doubling of torus J.Progress of Theoretical Physics,1984,72（2.2RpTFbdC9RM2ub6vSTnP8 张伟,霍拳忠，李骊.非线性振动系统的异宿轨道分叉、次谐分叉 和混沌J.应用数学和力学,1992 ,13:199.2RpTFbdC9R0YujCfmUCw9 谢柏松.单摆运动的同宿轨道分叉、次谐分叉和混沌J.北京师 范大学学报,2000,36(5：631.2RpTFbdC9ReU ts8ZQVRd10 郎和.保守单摆系统中的混沌运动J.西北师范大学学 报,2002 ,38 (4：108.11 李元杰.单摆的规则运动及混沌运动的研究J .大学物 理,1998 ,17(9：6.非线性系统控制理论单摆的动力学分析 学院：机电工程学院 专业：车辆工程 姓名：张亚 兵 学号：0211362申明： 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用 途。申明： 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用 途。
