分析法和综合法

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1、分析法和综合法一. 教学内容：几何证明的分析法与综合法专题讲座二. 教学目标：1. 掌握证明一个命题的一般步骤。2. 灵活掌握几何证明时常用的两种思考方法：分析法和综合法。3. 掌握对一些较复杂的几何问题，能够采用“两头凑”的思考方法去寻求证明的途径。4. 进一步培养学生的逻辑思维和推理论证的能力。三. 教学重点、难点： 重点：掌握几何证明的分析法和综合法及两头凑的方法。 难点：寻求证明的方法和途径。四. 几何证明方法指导：1. 证明一个命题的一般步骤（1）按题意画出图形。（2）分清命题的题设和结论，结合图形，在已知一项中写出题设，在求证一项中写出结 论。（3）探求证明途径。（4）在证明一项中

2、写出证明过程。2. 证明命题正确的关键在于找出正确的证明方法或途径，这是最困难的，也正是我们力求 研究和解决的问题。3. 介绍两种几何证明时常用的思考方法：（1）分析法 定义：要证明一个命题正确，为了寻找正确的证题方法或途径，我们可以先设想它的 结论是正确的，然后追究它成立的原因，再就这些原因分别研究，看它们的成立又各需具备 什么条件，如此逐步往上逆求，直至达到已知的事实，这样一种思维方法就叫做分析法。可简单地概括为：“执果索因”。意思就是：“拿着结果去寻找原因”。 思路：举例说明其证明命题正确的思路：若要证明如下命题：“若A成立，则D成立。”用分析 法思考时，其思路可如下图所示：（应从下往上

3、看）从结论开始，即从 D 开始往上寻求其成 立的条件，假设C、C、C2都能使D成立，再寻求其成立的条件什么能使C、C、C2成立，设B、B1能使C成立，B2能使C成立，B3、B4能使C2成立，这一切原因，固然都可使D成 立，但究竟哪个是题设A的结果呢？检查之后，设发现B是，这样就由未知的D上溯到已知 的A,因而就获得了证明的思路：D-C-B-A，即D可由C得出，C又可由B得出，B又 可由已知的A得出，至此显然命题得证。B B B B B2 U /分析法与综合法的特点：分析法的特点是从要证明的结论开始一步步地寻求其成立的条件，直至寻求到已知条件 上。综合法的特点是从已知条件开始推演，一步步地推导结

4、果，最后推出要证明的结果。 分析法与综合法的优缺点：证几何题时，在思索上，分析法优于综合法，在表达上分析法不如综合法。1（2）综合法： 定义：证明一个命题的正确时，我们先从已知的条件出发，通过一系列已确立的命题 （如定义、定理等），逐步向前推演，最后推得要证明的结果，这种思维方法，就叫做综合法。可简单地概括为：“由因导果”，即“由原因去推导结果”。 思路：要证明定理“若A成立，则D成立”用综合法思考时，其思路可由下图所示：从已知 条件开始，故从A开始推演，寻找可以到达D的思路，但由A所得的结果往往不止一个， 可能有好多个。设B、B、B2都是A的结果，同样由B、B、B2又可得好多结果，设由B可

5、得C、C, B可得C2, B2可得C3、C4，在这些C中，只要有一个能得出D即可，思考至此 便可得到：A-B-CfD这个证明的思路了。若C中还没有一个能得出D的，可如上一样， 再往下寻求，直至能得出D为止。4 分析法利于思考，综合法宜于表述，在解决问题中，最好合并使用。 对于一个新问题，我们一般先用分析法寻求解决，然后用综合法有条理地表述出来。4. “两头凑”的证题方法。对于一些较复杂的几何问题，我们可以采用“两头凑”的方法去寻求证明的途径。“两头 凑”即先从已知条件出发，看可以得出什么结果，再从要证明的结论开始寻求，看它的成立 需具备哪些条件，最后看它们的差距在哪里，从而找出正确的证题途径。

6、【典型例题】Z3 = Z4 AB = AC ZBAD = ZCAETZ1+ ZBAC = Z2 + ZBACTZ1 = Z2说明：分析法是从结论开始逐步往上逆求，最后归结到已知条件上，在书写证明时，为 了叙述方便，往往还要逆过来，从已知条件开始叙述，因此下面写出如下证明过程：证明：VZ1=Z2Z1+ZBAC=Z2+ZBACZBAD=ZCAE在厶ABD和厶ACE中23 = Z4（已知） AB=AC （已知）/BAD=Z CAE （已证）ABD竺AACE （ASA）AE=AD （全等三角形的对应边相等）例2.已知梯形 ABCD的腰CD上有一点E, EA、EB分别平分ZDAB和ZCBA，则AB=AD

7、+BC。分析：我们先用综合法思考此题：梯形ABCDIAD/BCZ C十ZD= 1 SO十, E盘日是角平分线IZAEB=90 tgBF=BCJAbefAbecI4AADEAAFEJAF=ADIAB=AD+BC证明：TABCD是梯形，CD是腰 AD/BC ZDAB+ZABC=180又TEA、EB分别平分ZDAB和ZABC11/BAE + /ABE = -/DAB + /ABC221二 2 (/DAB + /ABC)1 =_x 180。= 90。2ZAEB=180 - （ZBAE+ZABE）=180 -90 =90在BA上截取BF=BC又.BE=BE,ZEBF=ZEBCBEF竺ABEC （SAS）

8、ZBEF=ZBEC （全等三角形的对应角相等）VZFEB+ZAEF=90 ZCEB+ZDEA=90.ZAEF=ZAED在AAFE与厶ADE中ZFAE=ZDAE （角平分线定义） AE=AE （公共边）ZAEF=ZAED （已证） AEF竺AAED （ASA） AF=AD AB=AF+BF=AD+BC例 3.如图，AABC 中，ZA=90, AB=AC, BD 平分ZABC 交 AC 于 D, CE丄BD 的延长线于E。求证：BD=2CE。FABC分析：我们用“分析法”的方法来分析此题。先由条件“BD平分ZABC和CE丄BD” 想到延长CE、BA相交于F,然后想到如下分析思路：BD=2CE2CE

9、=CFBD=CFAABDAACF (ASA) tCE=ETAB=AC, Z1=Z2, ZDAB=ZFAC tZ2=9O -ZF, Zl=90 -ZFttABEFABECZ2=Z3 BE=BECE 丄 BDZBACOBD平分ZABC(ASA)ZBEF=ZBEC=90c fCE_LBDF面再用综合法写出证明过程。证明：延长CE、BA相交于F在厶FBE和厶CBE中上= Z3（角平分定义） BE=BE （公共边）ZBEF = ZBEC =90。（垂直的定义）FBE竺ACBE (ASA)CE=EF 2CE=CF在 RtABEF 中，Z2=90 -ZF在 RtABC 中，ZBAC=90,Zl=90 -ZF

10、 Z1=Z2在厶ABD和厶ACF中21 = Z2(已证) AB=AC (已知)ZBAD = ZCAF=90 ABD 竺AACFBD=CF BD=2CE例4.已知：梯形ABCD中，腰AB=DC, AC为对角线求证：AC2=AB2+AD BCbef c分析：我们用“两头凑”的方法分析此题，分析过程如下：作 AE1BC；能=A2-fC2 AE2 = AB2-BE2农,石占=葢| HQ?= 加-血 十思L =朋2十（总亡十左）总亡一启酌|梯形 ABCD 中，AE=DC.4C2 = AB2 AD BC下面用综合法，写出证明过程。证明：作AE丄BC, DF丄BC在 RtAAEC 和 RtAABE 中根据勾

11、股定理得：AC 2 = AE 2 + EC 2AE 2 = AB 2 - BE 2AC 2 = AB 2 - BE 2 + EC 2=AB 2 + (EC 2 BE 2)二 AB 2 + (EC + BE)(EC BE)梯形 ABCD 中，AB=DC, AE丄BC, DF丄BCBF=AD, BE=CFEC + BE = BC, EC BE = AD【模拟试题】(答题时间：30分钟)1.如图，B、E、F、D 在一条直线上，AB=CD,ZB=ZD, BF=DE求证：(1) ADFC 竺ABEA(2) AFECEFPE+PF=BH。3.如图，已知：AB=AC,求证：BD=DC4.(1)如图甲所示，A

12、、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边在AC同侧作等边厶ABD和等边 BCE，AE交BD于F，DC交BE于G，求证： AE=DC， BF=BG(2)如图乙所示，如果A、B、C不在一直线上，那么这时AE=DC和BF=BG是否仍然成立？如果成立请加以证明；如果不成立，请说明理由。DDEEFGFGCABABC（乙）（甲）试题答案】1.证明：（1）TBF=DE BF + EF = DE + EF即 BE=DF在ADFC与ABEA中AB = CD ZB = ZD、BE = DF ADFC 仝 ABEA(SAS)(2) / ADFC仝 ABEA:.CF = AE, ZCFD =ZAEB在AAEF与

13、ACEF中CF = AE ZAEB = ZCFD、EF = FE AAFE = ACEF2证明：连结 AP,则有 SAABC = SAABP + SAAPCAB = AC, PE 丄 AB, PF 丄 AC11 S = AB - PE + AC - PFAABC 221=AC - (PE + PF)2又TBH丄AC1 S = AC - BHAABC 211AC - (PE + PF) = AC - BH即22 PE + PF = BH3.证明：在厶ABE和厶ACE中 AB = AC BE = ECAE = AE AABE 仝 AACE(SSS)ZBAE = ZCAE在厶ABD和厶ACD中AB = AC ZBAD = ACADAD = AD:.AABD =AACE:.BD = DC4.(1)在厶ABE和厶DBC中AB = DB, BE = BC, ZABE = ZDBC = 120。AABE 2 ADBCAE = DC ZEAB = ZCDB在厶ABF和厶DBG中AB = DB, ZFAB = ZGDB, ZABF = ZDBG = 60。. AABF 2 ADBG.BF = BG(2)当A、B、C三点不在一直线上时，同样可以证明厶ABE竺ADBC仍有AE=DC但厶ABF与厶DBG不可能全等因此这时BFHBG。