用落球法测液体的粘度051977 贺鹏 热能与动力工程（同济大学 机械工程学院，上海，上海市，200092）摘要：对粘滞系数的由来和传统测量方法进行介绍，提出改进的方法 关键词：液体粘滞系数，落球法，升球法引言在工业生产和科学研究中（如流体的传输、液压传动、机器润滑、船舶制造、化学原料及医学等方面）常常需要知道液体的粘滞系数①测定液体粘滞系数的方法有多种，落球法（也称斯托克斯法）是最基本的一种它是利用液体对固体的摩擦阻力来确定粘滞系数的， 可用来测量粘滞系数较大的液体一、 传统方法的介绍1. 原理一个在静止液体中下落的小球受到重力、浮力和粘滞阻力3个力的作用，如果小球的速度v 很小，且液体可以看成在各方向上都是无限广阔的，则从流体力学的基本方程可以导出表示 粘滞阻力的斯托克斯公式②：F - 3珂vd ⑴⑴式中d为小球直径由于粘滞阻力与小球速度v成正比，小球在下落很短一段距离后，所 受3力达到平衡，小球将以v0匀速下落，此时有：⑵式中p为小球密度，p 0为液体密度由⑶式可解出粘度n的表达式:本实验中，小球在直径为 D 的玻璃管中下落，液体在各方向无限广阔的条件不满足，此时粘滞阻力的表达式可加修正系数（l+2.4d/D），而⑶式可修正为：⑷1陀（1 + 24必巧当小球的密度较大，直径不是太小，而液体的粘度值又较小时，小球在液体中的平衡速度v0会达到较大的值，奥西思-果尔斯公式反映出了液体运动状态对斯托克斯公式的影响：其中 ，Re称为雷诺数③，是表征液体运动状态的无量纲参数。
当Re小于0.1时，可认为⑴、⑷式成立当0.1〈Re〈l时，应考虑⑸式中1级修正项的影响,当 Re 大于 1 时，还须考虑高次修正项考虑⑸式中1级修正项的影响及玻璃管的影响后，粘度％可表示为：(7)lgv0(l+2.4^/£))(l+3Re/U) l + 3Re/16由于3Re/16是远小于1的数，将1/ (1+3Re/16)按幕级数展开后近似为1 —3Re/16，⑺式 又可表示为：巧二卑-詁皿 (8)2. 装置介绍FD-VM- II型落球法液体粘滞系数测定仪④ 该装置的整体结构如图所示.激光光电记时器⑤: 该仪器的面板图如图的右侧所示.由激光电源、直流电源和记时器组成.图1•导管2•激光发射器A 3•激光发射器B 4•激光接收器A 5•激光接收器B 6•量筒7. 计时器复位端 8. 激光信号指示灯 9 计时显示 10. 计数显示 11. 电源开关使用介绍:(1) 打开电源开关，按下复位键，显示屏上显示“Fd--”，表示仪器进入工作状态.(2) 仪器接收到激光接收器A的第一次触发开始计时,到接收到激光接收器B的第二次 触发停止计时•此时间间隔t就是小球匀速下降l距离所用的时间，与下降的次数分别由显示 屏上显示出来.3. 内容1. 确定小球在量筒中开始匀速下降的位置. 分别将三个小球自液面的中心处由静止释放，观察小球由静止到匀速下降的全过程，以此来确定小球开始匀速下降的位置.2. 调整底盘水平、立柱垂直. 在实验架横梁的中心孔处放置重锤，放下垂线，使重锤的尖端靠近底盘.调节底盘的调平旋钮，使重锤的尖端对准底盘的中心凹点.这是实验成功的关键.3. 打开光电计时器开关，使其处于工作状态.4. 接通实验架上的两个激光发射器的电源，调节激光发射器的位置，使红色激光束平行 地对准垂线.特别要注意激光发射器 A 的位置.它的位置一定要比小球开始匀速下降的位置 稍下一些.5. 收回重锤和垂线，将装有被测液体的量筒放置在实验架底盘中央，使量筒底部外围与 底座上面环形刻线对准， 并在实验中保持不变.6. 调整激光接收器接收孔的位置，使其对准激光束.激光信号指示灯暗，说明接收器接 收到了激光.7. 用一厚纸片进行挡光，测试光电门的挡光效果.观察是光电门能否按时启动和结束计 时.8. 将小球放入导管，观察小球下落时能否挡住激光光线.若不能，可适当微调整激光器 和接收器的位置.9. 从计时器上测出6组小球下落的时间间隔⑥.10. 从固定激光器的立柱标尺上读出两平行激光束之间的距离1.11. 用读数显微镜测量小球的直径d,在不同方位上测6次.12. 其他各项数据由实验室给出.14.将测量结果带入计算n的最佳测量值•在不考虑g的不确定度的条件下，可由以下 公式计算相对合成标准不确定度•因为Q、Q、D的不确定度很小，可以忽略不计.u (1)=cr+(也)2 +(字)2 +(2 + t l d2.4D + 2.4d)2 U (d )20.05cm公式中 u(t) = [u2 (t) + u2 (t)]2，其中 UB(t)由实验室给出；U(l) = Ug(l)=0.01mm<3U (d ) = U 2 (d ) + U 2(d ) ] 2， 其中 uB(d)=二、 背景知识粘滞系数又称动力粘度，和运动粘度、相对粘度和条件粘度一起均是反映流体粘性阻力 大小的指标。
不同流体具有不同的粘滞系数，粘度一般与压强的关系不甚显著，随温度的升 高而降低测量液体粘滞系数的方法有落球法、转筒法、阻尼振动法此外，常用的粘度计 还包括毛细管式、锥板式、超声波式以及恩式粘度计测量粘滞系数在工业生产、科学研究和国防建设等领域中具有重要意义如在工业上选 择润滑油、进行石油制品检验；化学上测定高分子化合物的分子量； 水利工程中研究流体 运动；环境保护学上测定流体的杂质含量；医学上测定血液的粘滞性便于诊断病变；食品和 药物的生产过程的自动控制以及国防建设上在对飞机、船舶、舰艇的模型设计等各方面都需 要进行粘度测试1845年英国的数学家和物理学家斯托克斯⑦(Stokes, Sir George Gabriel, 1819T903) 和法国的维纳(C.L.M.H. Navier)等人分别推导出粘滞流体的动力学方程，即纳维-斯托克 斯方程，奠定了传统流体力学的基础1851 年，斯托克斯推导出固体小球通过粘性介质中 匀速缓慢移动时所受的阻力：F=6nn av0 (其中n为粘滞系数)，得出在给定力(重力) 的作用下的小球速度,被称为斯托克斯公式三、 影响测量各因素的分析⑧问题分析1. 小球半径对实验的影响 假设在理想状态条件下，即小球在无限广延的液体中下降，小球受到粘滞力f的作用，由斯托克斯定律给出式中r为小球半径；v为小球运动的速度；n为液体的粘滞系数.小球在粘滞流体中下落，受到三个竖直力的作用。
重力W ,浮力B,及粘滞力f.小球在粘滞液体中下落时的受力图假设小球由静止开始下落，有：W — B — f = ma (2)为简便，设k=6n n r,所以：f=kv则(2)式为W — B — Kv = ma (3) 小球开始下落时作加速度运动，后来随速度的增加，粘滞力增大，因之加速度减小，最后小球 趋于匀速运动[2] •此时速度为收尾速度VT•可由 aEO,得出 W -B-kVT =0；所以：3）还可以写为dz积分解出：由（4）和图分析得知,在有限高度的液体内,小球只是趋近于收尾速度,并未达到同时：vT = w kB 上式给出,当小球密度不变时,小球半径增大,收尾速度减小,这样测试过程中粘滞流体不 易引起旋涡,使测试更准确另外,传统的落球实验中,如果仍然认为小球在理想的无限广延液体中下落,则粘滞系数为"訂铲 ⑸相对误差⑨为：= 2 — ++ 彳°# _ d P - po从误差角度考虑,小球直径越大误差越小但直径增大,重力增大,这样下降速度增加,收 尾速度增加,又是不希望看到的所以,在传统实验中,为了使收尾速度变小,不得不采用 直径较小的小球,这样就存在较大的误差2. 圆筒直径对实验的影响传统的落球实验是在圆筒中进行的，考虑到管壁对小球运动的影响，加入修正项= （P - Po）討18Vt（1 + k'经分析表明，在相同温度下，用相同的粘滞液体，会发现圆筒直径大的收尾较大，反之亦然， 而事实上，直径越大，小球的运动越接近在理想的广延液体中运动，但是为了获得较小的收 尾速度，又不得不在直径较小的圆筒中测定粘滞系数，。
因此，在测量中存在较大误差也是 意料之中的3. 收尾速度对粘滞系数的影响 收尾速度测定时，选取了一段距离而测出小球的平均速度，但在有限的时间内，速度仅仅是 趋近于收尾速度，这样使得粘滞系数的测量值准确度降低4. 小球下落发生滚动对粘滞系数的影响 在用斯托克斯定律测定粘滞系数时，认为流体的流动是层流，其流线是稳恒的，对于球面两 侧相对应各点的压力恰好相等，这时的粘滞阻力才易于计算.但是，小球在下落时，常会出 现平动加滚动的运动状态，这一点在实验中又很难避免，由此而引起周围液体的不规则流动 即所谓湍流，这种情况必然影响粘滞系数的测定，而且容器管壁的直径越小，这种影响就越 明显.四、 利用“升球法”测量液体粘滞系数通过上述分析研究，可以看出落球法虽然简便、易操作，但是给实验结果带来的误差也是非 常明显的.为克服上述诸多种影响测量粘滞系数的实验因素，并且保留落球法实验的低设备 成本、低损耗及容易操作等优点，提出改变测量方法的实验方案.选一个直径较大的透明容器，使小球直径d与容器直径D不可比拟，可近似认为小球在理 想的公式只与小球的直径、小球的挡光时间、配重块的广延液体中运动.用一极细的鱼弦丝 线将小球,配重块（M ）跨过轻滑轮连接起来将光电门固定在器壁上，与毫秒计接通，见实 验装置图1. 测量原理当小球匀速向上运动时（忽略滑轮的摩擦）Mg ■+• B — mg — f = 0 其中 f = G-ktjtVt = 3兀可 dVy 所以*囂器+ E用天平称出小球和配种块的质量，用卡尺测出小球的直径，浮力B与收尾速度测量方法如下 测量浮力：运动小球在给定的粘滞液体中的浮力可由下述方法测出，加减配重块，改变 M 的质量，小球 静止的条件有T ■+■ B - mg = 0 和丁 = Mg故浮力：JB = (m - M)g测定小球的收尾速度：给配重块再加一个适当的质量，使其值为M,小球运动达到平稳后，在液体高度约一半，(即 A点)设置光电门，在小球经过光电门时记下小球挡光的时间T，改变光电门的位置，在A、 C点之间寻找B点，使某点B处的挡光时间T与C点处的时间相同，则B点即为收尾速 度的测量临界点，只要将光电门的位置，设在B、C间的任一点即可测出收尾速度.将测得的浮力和收尾速度的关系式代入得：_ (M — M')聲由此可见，利用升球法测定液体粘滞系数的公式 仅与小球的直径，小球的挡光时间，配重 块的质量及其变化量有关。
影响测量结果因素的消除 进过上述分析，只要让液体容器的尺寸远远大于小球的直径，并且使小球在容器的中心轴线 上升起，桶壁的影响可以忽略由传递公式可以推出粘滞系数的相对误差公式：= 9 AdX] t d显然升球法的影响误差要小于落球法，且主要因素是小球的直径D,可以看到增大小球直径 D 的值，并不会使收尾速度受到限制(改变配重块的质量，可以得到满意的收尾速度)同 时，当小球直径增大时，挡光时间也增加，对减少误差也起了积极的作用2. 结论改变传统的落球法为升球法，对液体的粘滞系数进行测量，可使测量结果准确，误差变得很 小，还有以下优点：a) 收尾速度随意可调，可达最小b) 小球直径较大，可使误差减小，且不会对收尾速度有影响c) 盛液容器足够大时，其直径与测量结果无关d) 小球有细线束缚，不能滚动，其周围液体流动稳定，保证了层流状态。