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1、类型二 二次函数与角度问题例1、已知抛物线的图象与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，过点作轴的平行线与抛物线交于点，抛物线的顶点为，直线经过、两点.（1） 求此抛物线的解析式；（2）连接、，试比较和的大小，并说明你的理由.【答案】解：（1）CDx轴且点C（0，3），设点D的坐标为(x，3) 直线y= x+5经过D点，3= x+5x=2即点D(2，3) 根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M（1，y），又直线y= x+5经过M点，y =1+5，y =4即M（1，4）设抛物线的解析式为点C（0，3）在抛物线上，a=1即抛物线的解析式为3分（2）作BPAC于点P，MNAB于点N由（1）中抛物线
2、可得点A（3，0），B（1，0），AB=4，AO=CO=3，AC=PAB45ABP=45，PA=PB=PC=ACPA=在RtBPC中，tanBCP=2在RtANM中，M（-1，4），MN=4AN=2tanNAM=2BCPNAM即ACBMAB例2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点N（2,5），过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P（x,y）为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当DMN为直角三角形时，求点P的坐标；（3）设此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使QMN=CNM ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，
3、说明理由.【答案】解：（1）过点M、N（2，5），由题意，得M（，）. 解得 此抛物线的解析式为. 2分（2）设抛物线的对称轴交MN于点G，若DMN为直角三角形，则.D1（，），（，）. 4分直线MD1为，直线为.将P（x，）分别代入直线MD1，的解析式，得，.解得 ，（舍），（1,0）. 5分解得 ，（舍），（3,12）. 6分（3）设存在点Q（x，），使得QMN=CNM. 若点Q在MN上方，过点Q作QHMN，交MN于点H，则.即.解得，（舍）.（，3）. 7分 若点Q在MN下方，同理可得（6，）. 8分例3、平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点 A
4、的坐标为(1, 0)，OB=OC，抛物线的顶点为D (1) 求此抛物线的解析式； (2) 若此抛物线的对称轴上的点P满足APB=ACB，求点P的坐标； (3) Q为线段BD上一点，点A关于AQB的平分线的对称点为，若，求点Q的坐标和此时的面积 【答案】图9（1） ， 抛物线的对称轴为直线 抛物线与x轴交于 点A、点B，点A的坐标为， 点B的坐标为，OB3 1分可得该抛物线的解析式为 OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C， OC=3，点C的坐标为将点C的坐标代入该解析式，解得a=12分 此抛物线的解析式为（如图9） 3分 （2）作ABC的外接圆E，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，设E与抛
5、物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点，点关于x轴的对称点为点，点、点均为所求点.（如图10） 可知圆心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线上 、都是弧AB所对的圆周角， ，且射线FE上的其它点P都不满足由（1）可知 OBC=45，AB=2，OF=2可得圆心E也在BC边的垂直平分线即直线上 点E的坐标为 4分 由勾股定理得 点的坐标为 5分由对称性得点的坐标为 6分符合题意的点P的坐标为、.（3） 点B、D的坐标分别为、，可得直线BD的解析式为，直线BD与x轴所夹的锐角为45 点A关于AQB的平分线的对称点为，（如图11）若设与AQB的平分线的交点为M，则有 ，Q，B，三点在一条直线
6、上 ， 作x轴于点N 点Q在线段BD上， Q，B，三点在一条直线上， ， 点的坐标为 点Q在线段BD上， 设点Q的坐标为，其中 ， 由勾股定理得 解得经检验，在的范围内 点Q的坐标为 7分此时 8分例4、已知，抛物线与x轴交于点A（2,0）、B（8,0），与y轴交于点C（0，4）。直线y=x+m与抛物线交于点D、E（D在E的左侧），与抛物线的对称点交于点F。（1）求抛物线的解析式；（2）当m=2时，求DCF的大小；（3）若在直线y=x+m下方的抛物线上存在点P，使DPF450，且满足条件的点P只有两个，则m的值为_.（第（3）问不要求写解答过程）【答案】解：（1）依题意，设抛物线的解析式为y=
7、a（x+2）（x-8），抛物线与y轴交于点C（0，-4），-4=a（0+2）（0-8）解得a=抛物线的解析式为y=(x+2)(x-8)，即y=x2-x-4；（2）由（1）可得抛物线的对称轴为x=3，m=2，直线的解析式为y=x+2，直线y=x+2与抛物线交于点D、E，与抛物线的对称轴交于点F，F、D两点的坐标分别为F（3，5），D（-2，0）设抛物线的对称轴与x轴的交点为M，可得CM=FM=MD=5，F、D、C三点在以M为圆心，半径为5的圆上DCF=DMF=45（3）由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为G（3，-）设F（3，3+m），则FG=m+3+，设D关于对称轴的对称点为D1，当四边形DG
8、D1F为正方形时，满足题意，此时P点与顶点G重合，或者与D1重合，故DD1=FG，D点横坐标为：x=-（FG-3）=-，纵坐标为-（FG-3-m）=，将D点坐标抛物线解析式，解得m=-例5、如图，抛物线，与轴交于点，且（I）求抛物线的解析式；（II）探究坐标轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由； （III）直线交轴于点，为抛物线顶点若，的值【答案】解：（I），且代入，得（II）当可证 同理: 如图当当综上，坐标轴上存在三个点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形，分别是，（III） 又例6、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=
9、ax28ax16a6经过点B（0，4）.求抛物线的解析式；设抛物线的顶点为D，过点D、B作直线交x轴于点A，点C在抛物线的对称轴上，且C点的纵坐标为-4，联结BC、AC.求证：ABC是等腰直角三角形；在的条件下，将直线DB沿y轴向下平移，平移后的直线记为l ，直线l 与x轴、y轴分别交于点A、B，是否存在直线l，使ABC是直角三角形，若存在求出l 的解析式，若不存在，请说明理由 图（1） 备用图 【答案】解：由题意知： 解得： 抛物线的解析式为：-1分证明 ：由抛物线的解析式知:顶点D坐标为（4,6） 点C的纵坐标为4，且在抛物线的对称轴上C点坐标为(4，4)设直线BD解析式为： 有：，BD解
10、析式为直线BD与x轴的交点A的坐标为（8,0）过点C作CE轴于点E，则CE=4，BE=8又OB=4，OA=8, CE=OB,BE=OA,CEB=BOA=90CEBBOA(SAS)-2分CB=AB, 1=22+3=90，2+3=901+3=90，即ABC=90ABC是等腰直角三角形-3分存在.当CAB=90时，如图1所示， ABABOAB=BAO易证:ECA=OAB图1ECA=BAOtanBAO=tanECA=EA=2A坐标为(2,0)直线l解析式为-5分当ACB=90时，如图2所示，图2过点C作CE轴于点E，易证AFCBECAF=BE由tanBAO=设B坐标为（0，n）有B坐标为（0，）直线l
11、解析式为-7分例7、已知：抛物线yx22xm-2交y轴于点A（0，2m-7）与直线yx交于点B、C（B在右、C在左）（1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为E，在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由；（3）射线OC上有两个动点P、Q同时从原点出发，分别以每秒个单位长度、每秒2个单位长度的速度沿射线OC运动，以PQ为斜边在直线BC的上方作直角三角形PMQ（直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t秒，若PMQ与抛物线yx22xm-2有公共点，求t的取值范围【答案】解：（1）点A（0，2m-7）代入yx22xm-2，得m=5抛物线的解析式为yx22x3 2分（2）由得，B（），C（）B（）关于抛物线对称轴的对称点为可得直线的解析式为，由，可得 5分（3）当在抛物线上时，可得，当在抛物线上时，可得，舍去负值，所以t的取值范围是8分
